\begin_inset Separator latexpar\end_inset
Универзитет Св. „Кирил и Методиј“ во Скопје
Факултет за електротехника и информациски технологии
Институт за телекомуникации
Докторска дисертација
КООПЕРАТИВНИ КОМУНИКАЦИИ ПРЕКУ БЕЗЖИЧНИ РЕЛЕЈНИ КАНАЛИ
Ментор:
проф. д-р Зоран Хаџи-Велков
Kандидат:
Јован Стошиќ
декемврти 2014


Посветено на мојот син Иван и сопруга Светлана


\pagestyleplain
\sloppy
Table of Contents
\sloppy
\pagestyleempty

Nomenclature

\sloppy

Апстракт

 Кооперативните комуникации претставуваат важна област на истражување во безжичните комуникации. Тие ги користат својствата на безжичниот канал за да се зголеми ефикасноста и робусноста на телекомуникацискиот систем. Соседните безжични јазли (т.н. партнери или релеја) меѓусебно си помагаат во процесот на комуникацијата преку отстапување на дел од ресурсите за пренос на податоците испратени од партнерот. Ваквата комуникација е возможна поради дифузната природа на радиоканалот, и затоа сигналот испратен од изворот, освен до дестинацијата, може да стаса и до релето (т.н. дифузен канал точка - повеќе точки). Посредството на релето при комуникацијата меѓу изворот и дестинацијата оформува систем со виртуелен просторен диверзитет, со што се подобруваат перформансите на комуникацијата извор-дестинација. При координирано праќање на информација од изворот и релето кон дестинацијата се формира еквивалентен повеќепристапен канал (т.н. релеен канал) чиј капацитет е поголем од директниот канал извор-дестинација. Добивката од кооперација може дополнително да се зголеми ако изворот, дестинацијата и релето располагаат со повеќе антени, при што дополнителната добивка се должи на појавата на просторниот диверзитет низ фединг канал.
 Во докторската дисертација се анализирани перформансите на кооперативните релејни канали од информациско-теоретски и од комуникациско-теоретскa перспектива. Анализирани се релејните канали со една влезна и една излезна антена, како и релејните канали со повеќе влезни и повеќе излезни антени (МИМО). За релејните канали со една влезна и една излезна антена, анализирана е горната граница на капацитетот, како и границите на достижните информациски брзини за основните релејни техники.
 За МИМО релејните канали, анализирани се системи со две делници со посебен осврт кон МИМО системите со блоковско ортогонално просторно-временско кодирање (OSTBC) во фединг канал. Претпоставено е дека релето користи посебен тип на засили-и-проследи релејна техника, наречена раздвои-и-проследи, при што релето и дестинацијата имаат целосни информации за статусот на каналот. Во засили-и-проследи релето, влезниот сигнал се раздвојува, засилува и проследува кон дестинацијата. За таквата конфигурација, се изведени прецизна и груба апроксимација за веројатноста за грешка за произволен однос сигнал-шум. За големи вредности на односот сигнал-шум прецизната апроксимација е упростена во едноставен асимптотски израз. Добиените апроксимации за веројатноста за грешка се споредени со веројатноста за грешка добиена со употреба на методот на момент-генерирачка функција и веројатноста за грешка добиена со Монте Карло симулации. Исто така, изведени се прецизни и груби апроксимации за веројатноста на испад за разгледуваниот засили-и-проследи МИМО релеен канал. Апроксимациите на веројатноста на испад се споредени со точните резултати добиени со нумеричка интеграција базирана на момент-генерирачка функција и веројатноста на испад добиена со Монте Карло симулации. Освен тоа, изведени се во затворена форма апроксимации на веројатноста на испад на засили-и-проследи МИМО релејниот канал со директна патека до дестинацијата. На крајот се изведени изрази за ергодичен капацитет и капацитетен испад на засили-и-проследи МИМО релејниот канал со и без директна патека до дестинацијата. Каналите со директна патека покажуваат значително подобри перформанси од каналите без директна патека во поглед на ергодичниот капацитет и капацитетниот испад.
\pagestylefancy
\rightmark
\thepage
\sloppy

1 Вовед

 Технологијата со повеќе влезови и излези (анг. MIMO - Multiple Input Multiple Output) стандардно се применува во современите телекомуникациски системи бидејќи таа нуди значителни подобрувања на перформансите во смисол на нивниот капацитет и издржливост, кои се постигнуваат преку искористување на повеќепатното простирање во безжичниот медиум. МИМО системите со 2 до 4 антени во моментов се користат во безжичните LAN (Local Area Networks) мрежи (802.11n, 802.11ac) или се развиваат за безжичните системи како 3GPP-LTE и LTE-advanced.
 Делумно поттикнато од МИМО концептот, корисничката кооперација неодамна се јави како дополнителен развоен концепт во безжичните комуникации, наречен кооперативен диверзитет, кој има потенцијал да направи револуција во комуникациските системи од следната генерација со нудење на дополнителен капацитет и подобрувања од аспект на стабилност со малo дополнително процесирање на сигнали и мали дополнителни трошоци [1]. Некои кооперативни (т.е. релејни) техники се веќе дел од LTE-Advanced стандардот [2]. Соседните безжични јазли (кои исто така се нарекуваат релеи или партнери) го помагаат меѓусебниот процес на комуникација со доделување на дел од нивните ресурси за пренос на дел (или сите) информации од партнерот. Со правилно координирање на различни просторно дистрибуирани јазли во единствен безжичен систем, може ефективно да се синтетизира виртуелно антенско поле за постигнување на просторен диверзитет, слично како во МИМО системите. Комбинацијата од МИМО и кооперативните релејни канали ги искористува бенефициите од диверзитет и добивките од мултиплексирање карактеристични за МИМО системите и добивките за надминување на засенувањето (shadowing), намалување на непотребно високата предавателна моќност и намалување на интерференцијата кои се карактеристични за радио-релејните системи.
 Мобилниот безжичен канал е под силно влијание на фединг, што предизвикува слабеењето на сигналот значително да варира во текот на преносот. Користењето на независни копии од сигналот создава диверзитет што ефективно се справува со штетните ефекти на федингот. На пример, може да се создаде просторен диверзитет со испраќање на сигналите од различни локации, со што се овозможува да пристигнат во дестинацијата независно заслабнати верзии од сигналот. Кооперативните комуникации го создаваат овој диверзитет на нов и интересен начин. За иницијално објаснување на идеата за кооперативни комуникации ќе ја разгледуваме сликата 1.1↓. Оваа слика покажува две мобилни станици кои комуницираат со иста дестинација. Секоја од станиците има една антена и не може да генерира просторен диверзитет. Сепак можно е едната мобилна станица да ги прими податоците од другата и да ги испрати кон дестинацијата заедно со сопствените податоци. Бидејќи патеките од двете станици се независни тие се под влијание на независен фединг што во дестинацијата создава просторен диверзитет. На сликите користиме икони кои претставуваат базни станици и мобилни станици заради впечатлива графичка репрезентација. Сепак, идејата за кооперативност е генерална, и е дури повеќе својствена за ад-хок безжичните мрежи и безжичните сензорски мрежи отколку за клеточните мрежи.
figure Images/Cooperative Communications.png
Figure 1.1 Кооперативни комуникации
 Во кооперативните безжични комуникации, ќе разгледуваме клеточни или ад-хок безжични мрежи, каде безжичните станици се нарекуваат корисници. Корисниците можат да го зголемат квалитетот на услуга (мерен на физичко ниво со веројатност на грешка или веројатност на испад) со користење на кооперативни постапки. Во кооперативниот комуникациски систем, секој безжичен корисник се претпоставува дека испраќа податоци но исто така се однесува како кооперативен агент за другиот корисник (слика 1.2↓).
figure Images/Korisnik i rele.png
Figure 1.2 Во кооперативните комуникации секоја мобилна станица е корисник и реле
 Кооперацијата води кон интересни компромиси од аспект на брзината на пренесување на податоците и моќноста за испраќање. Од аспект на моќноста на испраќање може да се тврди дека од една страна повеќе моќност ќе биде потребна за секој корисник, кога тој работи во кооперативен режим, бидејќи тој испраќа за двата корисника. Од друга страна, моќноста кај двата корисника ќе се намали заради добивката во диверзитет (види глава 1.3↓). Од аспект на овој компромис, се очекува да дојде до вкупна редукција на предавателната моќност, доколку другите параметри од интерес останат непроменети.
 Слични прашања се поставуваат за брзината на пренесување на податоците во системот. Со оглед на тоа што во кооперативните комуникации секој корисник ги испраќа неговите податоци како и податоците од неговиот партнер на прв поглед изгледа дека тоа ќе предизвика намалување на брзината на пренесување на податоците во системот. Сепак, спектралната ефикасност на секој корисник се подобрува бидејќи со кооперативните комуникации може да се зголемат брзините на каналните кодови.
 Базичните идеи за кооперативните комуникации се дадени во исклучително важниот трудот [3] каде се анализирани информациско-теоретските својства на релејниот канал. Во овој труд се анализирани капацитетот на мрежа со три јазли која се состои од извор S, реле R и дестинација D. Претпоставено е дека сите јазли работат во ист опсег, така што системот може да се подели во дифузен дел гледано од аспект на изворот и канал со повеќекратен пристап гледано од аспект на дестинацијата (слика 1.3↓).
figure Images/Difuzen i kanal so povekjekraten pristap.png
Figure 1.3 Релеен канал
 Многу од идеите кои подоцна се јавија во литературата се базираат на [3]. Сепак, во неколку аспекти кооперативните комуникации се разликуваат од релејнот канал. Прво, последните истражувања се базираат на концептот на диверзитет во федин канал додека во [3] воглавно се анализира канал со додавачки бел Гаусов шум (анг. AWGN - Additive White Gaussian Noise) . Второ, во релејниот канал, основна цел на релето е да му помогне на главниот канал, додека во кооперативните системи вкупните системски ресурси се фиксирани и корисниците се однесуваат и како извори на информација и како релеи.
Во продолжението на ова глава ќе ги карактеризираме релејните јазли и основните кооперативни постапи односно методите за обработка на податоците во релето.

1.1 Предности и недостатоци на кооперативните релејни комуникации

 Главните предности од користење на поддржувачки или кооперативни релеи во системот се:
 Кооперативните комуникации, како што беа претходно опишани, претпоставуваат дека дестинацијата може да ги раздвои сигналите испратени од изворот и од партнерот (релето). Тоа се остварува со ортогонално испраќање на двата дела така што тие можат да се издвојат. Наједноставен начин на издвојување е во време, т.е. корисничките податоци и податоците од релето да се испраќаат во временски интервали кои не се преклопуваат. Во [1], се користи методата со повеќекратен пристап со распределба на кодови (анг. CDMA - Code Division Multiple Access) кои обезбедуваат ортогоналност при паралелниот пренос на информациите од двата партнери. Освен тоа возможно е издвојувањето да се оствари во фреквентен домен.
 Традиционалните релејни канали работат во полу-дуплексен режим, каде комуникацијата во делницата од изворот до дестинацијата и во делницата од релето до дестинацијата е ортогонална што се обезбедува со користење на фреквентана или временска распределба. Од друга страна, во дуплексниот режим на работа изворот и релето може да делат заеднички временски или фреквентен домен, така што релето може истовремено да предава и прима. Полу-дуплексниот режим има лоша спектраната ефикасност поради што има двојно помал капацитет од системите кои работат во дуплексeн режим. Сепак, дуплексниот режим е тежок за имплементација во пракса заради интерференцијата која се јавува во приемната антена како резултат на сигналот од предавателната антена на тој јазол.

1.2 Карактеризација на релејните јазли во кооперативните системи

 Во оваа глава ќе ги карактеризираме различните типови на однесувања на релејните јазли и како во нив се обработуваат информациите.

1.2.1 Однесување на релејните јазли

 Јазлите кои се однесуваат како релеи или како кооперативни јазли играат централна улога во кооперативната мрежа. Нивното однесување има огромно влијание на перформансите на системот и согласно слика 1.4↓ може да се класифицираат во три основнити типови: јазли кои се однесуваат егоистично, поддржувачки и кооперативно.
figure Images/Odnesuvanje jazlite.png
Figure 1.4 Типични форми на однесување на јазлите. Во симетричниот случај (лево), двата јазли може да бидат поддржувачи или соработници, во асиметричниот случај (десно), се избира подобрата опција
Егоистично однесување (без помош):
 Ова е најтипично однесување на јазлите во денешните безжични комуникациски системи. Во овој случај, секој јазол комуницира независно со базната станица доколку тој има податоци за испраќање или останува неактивен доколку тој нема податоци за пренос, иако тој може да му помогне на друг јазол кој има податоци за пренос. Другите јазли се сметаат за натпреварувачи, т.е. за да се зголемат ресурсите за еден јазол потребно е да се намалат ресурсите за другите јазли. Јазлите во ваквите безжични мрежи силно го чувствуваат влијанието на безжичниот канал во тоа што јазлите со добри услови на каналот постигнуваат поголеми брзини на пренесување, додека јазлите со полоши услови на каналот постигнуваат помали брзини за пренесување.
Поддржувачко однесување (еднострана помош):
 Вакво однесување е добро познато во ад-хок безжичните мрежи, каде податоците се испраќаат кон дестинацијата преку реле(и) кои немаат сопствени податоци за пренос. Поддржувачките релејни мрежи во последно време го наоѓаат својот пат во безжичните клеточни мрежи (на пример, LTE-Advanced (анг. Long-Term Evolution Advanced)) . Во ова сценарио во дадениот момент нема добивка во перформанси за релето, бидејќи тоа само му помага на изворот, сепак, долгорочно гледано, релето (доколку не е дел од планирана инфраструктура) може исто така да биде во ситуација да му е потребна помош и на тој начин да добие поддршка од другите релејни јазли.
Кооперативно однесување (взаемна помош):
 Вистинското кооперативно однесување се покажува од јазлите кои взаемно си помагаат, т.е. сите инволвирани јазли имаат податоци за пренос и здружено се обидуваат да ги испратат. Системскиот дизајн кој ќе ја го следи концептот на кооперативност е сеуште далеку. Сепак, кооперативноста во општ случај ги намалува негативните ефекти на безжичниот канал така што дури и јазлите кои имаат лоши услови на каналот постигнуваат задоволителни брзини на пренесување на податоци.
Идните безжични мрежи веројатно ќе бидат изградени од јазли кои ќе ги покажуваат трите типа на однесување. Во општ случај може да се каже дека колку мрежата има повисоко ниво на коопреативност ќе има толку подобри перформанси но исто толку ќе биде покомплицирана за имплементација и одржување.

1.2.2 Методи за обработка на податоците во релето

 Во литературата може да се најдат низа на различни методи за обработка на податоците во релето. Генерално тие можат да се поделат во две групи : транспарентни и регенеративни методи.
Транспарентни релејни методи: Во фамилијата на транспарентни (не-регенеративни) методи, релето не ја модифицира примената информација. Во релето се вршат само многу едноставни операции, како на пример, засилување и промена на фаза. Со оглед на тоа што не се вршат дигитални операции врз сигналот, сигналот се прима во еден фреквентен опсег, се засилува и препраќа во друг фреквентен опсег. Пример на методи кои припаѓаат на оваа фамилија на релејни методи се:
Засили-и-проследи: Методата засили-и-проследи (анг. AF - Amplify and Forward) е една од наједноставните и најпопуларните релејни методи, сигналот примен од релето се засилува, фреквентно или временски поместува и препраќа. При тоа, во општ случај може да се користат променлив или фиксен (статистички усреднет) фактор на засилување.
Дестинацијата ги комбинира податоците испратени од корисникот и неговиот партнер и одлучува во врска со испратената порака. Покрај тоа што шумот се засилува во релето, дестинацијата добива две независно ослабнати верзии на сигналот и може да донесе подобра одлука при детекцијата на пораката. Оваа метода детално е анлизирана во [4].
Линеарно процесирање и проследување (анг. LF - Linear-Process and Forward): Овој релеен метод користи едноставни линеарни операции, кои се вршат врз сигналот во аналоген домен. Пример на таква линеарна операција е фазно поместување, што на пример може да се користи за имплементација на дистрибуирано формирање на сноп (анг. beamforming).
Нелинеарно процесирање и проследување (анг. n-LF Nonlinear Process and Forward): Овој релеен метод врши одредени нелинеарни операции на приемниот аналоген сигнал пред да се проследи. Пример за ова е нелинеарно засилување на применот сигнал така што се минимизира крај-крај веројатноста на грешка [5].
Важно прашање при дизјанот на транспарентните релејни методи е изборот на факторот на засилување во релето, каде во најопшт случај на располагање се следниве постапки:
Променливо засилување (анг. VG - Variable Gain) : Оваа постапка се разликува од постапката со фиксно засилување во тоа што засилувањето се прилагодува на моменталните промени во каналот. За оваа постапка е неопходно релето да има информации за моменталната состојба на каналот (CSI) од изворот до релето за да го контролира засилувањето така што ја фиксира моќноста на проследениот сигнал. Ако слабеењето на каналот од изворот до релето е големо тогаш релето избира голем фактор на засилување, а ако слабеењето на каналот од изворот до релето е мало тогаш релето ќе користи помал фактор на засилување. На пример, се избира засилувањето да биде инверзно пропорционално на моменталната моќност на федингот на делницата од изворот до релето:
(2.1) A2 = (ER)/(EIα21 + N0).
каде ER е моќноста на испратениот сигнал на излез од релето, EI е моќноста на испретениот сигнал во изворот, N0 е додавачки бел гаусов шум на влезот на релето, а α1 е амплитудата на федингот на делницата од изворот до релето (види глава 1.5↓).
Фиксно засилување (анг. FG - Fixed Gain) : За разлика од постапката со променливо засилување на релето кое користи постапка со фиксно засилување не му е потребно да има информации за моменталната состојба на каналот од изворот до релето туку користи константен фактор на засилување. Ваквите релеи се нарекуваат „слепи“ релеи. Како резултат на користењето на константен фактор на засилување сигналот на излез од „слепото“ реле има променлива моќност на излезот. За разлика од „слепите“ релеи често се користат т.н. „полу-слепи“ релеи. Во овој случај, јазелот го фиксира факторот на засилување во даден временски интервал, на вредност која зависи од статистиката на на каналот. На пример, фактор на засилување може да се избере да биде обратно пропорционален на средната вредност на моќноста на федингот во делницата од изворот до релето [2]:
(2.2) A2 = (ER)/(EIE[α21] + N0).
каде E[X] означува средна вредност од случајнтата променлива X. Сепак, почесто се зема релето да зрачи во просек со иста моќност како моќноста што се добива со користење на факторот на засилување во 2.1↑ кој се користи во релето со променливо засилување [6]:
(2.3) A2 = E(ER)/(EIα21 + N0)
Регенеративни релејни методи: Во случај на регенеративните релејни протоколи, во релето се менува информацијата што се пренесува или обликот на сигналот. Оваа постапка подразбира дигитални операции во основен опсег. Сепак, за сметка на комплексноста во повеќето случаии регенеративните методи постигнуваат подобри перформанси од транспарентните методи. Најопшта поделба на регенеративните методи е:
Естимирај-и-проследи (анг. EF - Estimate and Forward) : Врз примениот сигнал во релето се се врши квантизација, а врз основ на квантизираниот сигнал се врши естимација на оригиналниот сигнал. Оваа естимација од сигналот потоа се проследува кон дестинацијата. На пример, EF релето го естимира модулираниот симбол и ја препраќа неговата естимација со користење на друг тип на модулација.
Kомпримирај-и-проследи (анг. CF - Compress and Forward): Ова постапка е слична на EF постапката со таа разлика што релето препраќа кон дестинацијата компримирана верзија од детектираната низа на информациони бити. За иплементаија на оваа постапка е неопходно користење на изворно кодирање на примероците од сигналот. Се покажува дека методата компримирај-и-проследи достигнува најголем капацитет на каналот кога каналот од изворот до релето е послаб од каналот до дестинацијата (види глава 2.3↓).
Декодирај-и-проследи (анг. DF - Decode and Forward) : Релето во оваа постапка го прима и детектира сигналот, го декодира и повторно кодира и проследува кон дестинацијата. Всушност се работи за постапка што е најблиска до начинот на функционирање на класичниот релеен канал. Денес, постојат многу различни типови на DF постапки затоа што тие во најголем број на случаи обезбедуваат најдобри перформанси во поглед на веројатноста на грешка, веројатноста на испад и капацитет на каналот.
 Пример на DF метода може да се најде во трудотовите [1] [7]. Се работи за едноставна CDMA имплементација на DF релејната постапка. Во овој случај два корисника се упаруваат за да кооперираат меѓу себе. Секој корисник има сопствен CDMA код c1(t) и c2(t) . Корисничките податоци се b(n)i каде i = 1, 2 се корисничките индекси и n го означува временскиот индекс на инфомациони бити. Факторите ai, j ги обележуваат моменталните амплитуди на сигналот. Секој сигнален период се состои од три бит-интервали. Сигналите испратени од корисниците се:
X1(t) = [a11b(1)1c1(t),  a12b(2)1c1(t),  a13b(2)1c1(t) + a14(2)2c2(t)]
(2.4) X2(t) = [a21b(1)2c2(t),  a22b(2)2c2(t),  a23(2)1c1(t) + a24b(2)2c2(t)]
каде X1 е сигналот испратен од првиот и X2 сигналот испратен од вториот корисник.
 Со други зборови, во првиот и вториот интервал секој корисник ги праќа сопствените податоци. Секој корисник потоа гo детектира вториот бит од другиот корисник (секоја естимација на битот од другиот корисник се обележува со i). Во третиот интевал, двата корисници праќаат линеарна комбинација од нивниот сопствен втор бит и вториот бит од партнерот. Предавателните моќности за првиот, вториот и третиот интервал може да се променливи и може да се оптимизираат согласно условите на линкот до дестинацијата и условите на линкот меѓу корисниците. На тој начин се обезбедува прилагодување кон каналните услови.
 Моќностите се алоцираат преку коефициентите ai, j така што се исполни ограничувањето на средната моќност. Грубо речено, кога каналот меѓу корисниците е добар, повеќе моќност ќе се алоцира на кооперација, додека ако е лош кооперацијата се намалува. Ваквата постапка има предност заради својата едноставност и прилагодливост кон каналните услови.
Исчисти-и-проследи (анг. PF - Purge and Forward): Модерните телекомуникациски системи обично се дизјанираат да бидат со минимална инерференција без оглед на вредноста на шумот. Овој дизајн исто така се однесува на кооперативните системи каде PF постапката ја елиминира интерференција помеѓу различни релејни сигнали.

1.3 Метрики на перформансите на кооперативните релејни канали

 Во оваа глава накратко ќе ги опишеме метриките со кои се опишуваат перформансите на кооперативните системи: (1) веројатност за испад (OP - Outage Probability) и капацитетен испад (анг. OC - Outage Capacity), (2) капацитет (3) средна веројатност на грешка и (4) компромис меѓу добивката од диверзитет и добивката од мултиплексирање (анг. DMT - Diversity Multiplexing Trade-off) .

1.3.1 Капацитет

 Клод Шенон [8] докажа дека може да се постигнуваат информациски брзини на пренесување прозволно блиски до капацитетот на каналот со произволно мала веројатност на грешка (анг. EP - Error Probability) доколку се овозможат доволен број на користења на каналот. Со други зборови веројатноста на грешка тежнее кон нула доколку n → ∞, така што се усредни влијанието на шумот.
 Максималната брзина за доверливи комуникации се нарекува капацитет C на каналот. Доколку на влезот на дестинацијата моќноста на сигналот е P, а спектралната густина на шумот е N0 ⁄ 2, капацитетот на каналот со додавачки бел гаусов шум е [9]:
(2.5) C = W⋅log21 + (P)/(WN0) bits/s
каде W е пропустниот опсег на теснопојасниот филтер. Безжичниот канал влијае врз сигналите што минуваат низ него, а со тоа влијае на моќноста и капацитетот на каналот. Додека детермнинистичкиот ефект на слабењето на патот само ја менува употребливата моќност на сигналот во изразот (2.5↑), случајноста која ја предизвикува безжичниот канал го менува капацитетот бидејќи корисната моќност на сигналот ефективно се менува во текот на праќањето на еден коден збор. Зависно од типот на промените на каналот, се разликуваат ергодичен и неергодичен фединг канал.
 Каналните карактеристики кои се претпоставуваат во контекст на Шеноновиот капаците се однесуваат на ергодичен канал. Каналот е ергодичен доколку усреднувањето по време е еднакво на усреднувањето по ансамбл. Во попрактична смисла, тоа значи дека каналот се менува доволно често во текот на преностот така што се поминуваат сите фединг состојби. Ергодичниот канал може да ја поддржи следнава максимална брзина на пренос со сигурност:
(2.6) C = E[log2(1 + γ)] bit/Hz/s
каде γ е моменталниот однос сигнал-шум а операторот E[...] означува средна вредност по случајната променливаγ.
 Во трудовите [10] и [1] е покажано дека со користење на кооперативни релејни методи значително се подобрува брзината на пренесување на податоци за секој корисник на кооперативната мрежа но и на вкупниот капацитет (сумата од брзините на двата корисника за кооперативната релејна постапка прикажана на слика 1.4↑). Добивката е од особено значење во асиметричниот случај каде еден од корисниците има многу лоши канални услови. Резултатите добиени во овие трудови поттикнаа бран на истражувања за развој на практични постапки кои ќе можат да ги постигнат теоретските добивки на брзина на пренесување на податоци. Во [10] покажано е дека зголемувањето на вкупниот капацитет (сумата од брзините на двата корисника) резултира во зголемување на областа на покривање и дека едноставно изворно кодирање базирано на повторување на испратените кодни симболи со користење CDMA значително го зголемува регионот на достигливи брзини на пренесувaње во споредба со регионот за случајот без кооперација, со зголемување на квалитетот на каналот помеѓу корисниците.

1.3.2 Веројатност на испад и капацитетен испад

 Другa стандардна метрика на перфомансите на кооперативните релејните канали е веројатноста на испад (Pout) која се дефинира како веројатност дека моменталниот однос сигнал-шум (γ) ќе падне под одреден праг γth, т.е.:
(2.7) Pout = Pr(γ ≤ γth) = γth0pγ(γ)dγ
што всушност претставува кумулативна функција на веројатност (анг. CDF - Cumulative Distribution Function) од γ пресметана за γ = γth.
 Шеноновата теоријата на информации не е погодна за анализа на комуникациските сценарија каде средните канални услови се менуваат од коден збор до коден збор. Затоа е воведен концептот на веројатност на капацитетен испад.
 Во случај на неергодичен канал каналот не се менува доволно брзо за да ги помине сите состојби на каналот во текот на комуникацијата. Со други зборови, процесот е неергодичен доколку примероците помагаат да се претпостават вредностите кои се многу далеку во време од разгледуваниот примерок, т.е. кога случајниот процес е чуствителен на почетната состојба. Практични вакви ситуации се јавуваат кога каналот е со многу спор фединг и/или со постоење на силни долготрајни засенувања.
 Концептот на средни вредности не е многу корисен за неергодичните канали. Од тие причини, неергодичниот канал не ја поддржува мaксималната брзина за пренос (2.5↑) со сигруност туку за одредена брзина за пренесување R ќе го достигне прагот на капацитет Cth со веројатност Poc = Pr(R ≤ Cth), што се нарекува веројатност на капацитетен испад (види глава (2.8↓)). Во глава 6.1.4↓ се покажува дека за Рејлиев фединг веројатноста на капацитетен испад е:
(2.8) Poc = Pr(R ≤ Cth) = 1 − \rme − (2Cth − 1)/(γ)
kаде γ е средниот однос сигнал-шум. Од изразот (2.8↑) следи дека веројатноста на капацитетен испад се намалува експоненцијалнот со порастот на средниот однос сигнал-шум.
 Добивката во капацитет заради кооперација може да се илустрира со разгледување на кооперативното сценарио од слика 1.4↑ за едноставна постапка на кооперација: Двата корисника ги праќаат своите податоци кон дестинацијата, а со тоа и помеѓу себе. Доколку корисникот успее да ја декодира информацијата од партнерот, тој ја проследува кон дестинацијата, а доколку не успее да ја декодира информацијата од партнерот, тој продолжува со испраќање на сопствената информација. Согласно [11] добивките во веројатноста на капацитетен испад се значителни. Добивката во веројатноста на капацитетен испад може лесно да се припише на фактот дека веројатноста на испад на директниот и кооперативниот релеен линк е многу помала од веројатноста на испад само на директниот линк. Покомплексните топологии и постапки за кооперација го следат сличниот тренд и коопрацијата генерално е во состојба да даде значителни подобрувања во веројатноста на испад.

1.3.3 Средна веројатност на грешка

 Метрика која без сомнеж е најтешка за пресметка е средната битска веројатност на грешка (анг. BEP - Bit Error Probability) . Од друга страна, оваа метрика најмногу кажува за природата на однесување на системот и најчесто се илустрира во трудовите кои ги анализираат перформансите на системот. Од тие причини, од примарен интерес е да се има метод за нејзина пресметка кој ќе го намали степенот на тежина.
 Примарна причина за тежината на пресметка на средниот BEP лежи во фактот дека условната BEP во општ случај е нелинеарна функција до моменталниот однос сигнал-шум. Причината за нелинеарноста е функција од методите за модулација и детекција кои се употребуваат во системот.
Основниот израз за пресметка на BEP e:
(2.9) Pb(E)0Pb(E|γ)pγ(γ)dγ
каде P(E|γ)е условната BEP, a pγ(γ) е функцијата на густина на веројатност (анг. \strikeout off\uuline off\uwave offPDF - Probability Density Function)\uuline default\uwave default на моменталниот однос сигнал-шум.

1.3.4 Компромис меѓу добивките во диверзитет и мултиплексирање

 Компромисот помеѓу диверзитетот и мултиплексирањето е воведен во [12]. Тој кажува колку бргу веројатноста на испад се намалува, односно брзината за пренос се зголемува со зголемување на средниот однос сигнал-шум. Бидејќи концептот на испад не е применлив за ергодични канали, од аспект на Теоријата на информации, DMT е применлив само за не-ергодичните канали.  Сепак подолу ќе биде покажано дека DMT е исто така применлива за реалните системи кои функционираат при постоење на спор или брз фединг, што му овозможува на системскиот инженер да направи компромис помеѓу доверливоста и брзината на пренос.
Добивката во диверзитет е [13]:
(2.10) d =  − limγ → ∞(logPout(Cth, γ))/(log(γ))
каде Pout(Cth, γ) е веројатноста на капацитетен испад дефиниранана со (2.8↑) , γ е средниот однос сигнал-шум, Cth е долната граница на потребната брзина за пренесување на податоци и d е добивката во диверзитет. Имајќи ја во предвид дефиницијата (2.10↑) добивката во диверзитет ја дефинира градиентот на функцијата за веројатност на капацитетен испад во зависност од γ за големи вредности на односот сигнал-шум прикажана на логаритамска скала на двете оски. Доколку d = 0 тогаш со прираст на γ не се остварува намалување во веројатноста на испад, т.е. добивката што може да се добие од зголемување на γ се користи на друго место (најверојатно за зголемување на брзината на пренесување на податоци). Согласно [11] некооперативниот случај има диверзитет d = 1 додека кооперативната постапка може да постигне двоен диверзитет т.е. d = 2. Јасно е дека пострм градиент води кон поголема добивака со зголемувње на односот сигнал-шум.
Согласно [13] добивката од мултиплексирање (или бројот на степени на слобода) е:
(2.11) r = limγ → ∞(R(γ))/(log(γ)).
За асимптотски висок γ , степенот на мултиплексирање е еднаков на градиентот на зависноста на брзината на пренесување т.е. ергодичниот капацитет од средниот однос сигнал-шум. Ако r = 0 тогаш со зголемување на γ не се зголемува брзината на пренесување, т.е. добивката која потенцијално може да се добие од зголемување на γ се користи на друго место (најверојатно за да се намали веројатноста на испад).
 Ако брзината за пренесување ја изразиме преку добивката од мултиплексирање во (2.11↑) и ја замениме во (2.10↑) ќе се добиe:
(2.12) d =  − limγ → ∞(logPout(r⋅log(γ), γ))/(log(γ))
Од изразот (2.12↑) јасно е дека со зголемување добивката од мултиплексирање се намалува добивката од диверзитет т.е. се намалува сигурноста во достигнувањето на тие брзини.
 На пример, за МИМО канал во Рејлиев федин со достапни информации за каналот (анг. CSI - Channel State Information) во дестинацијата максималната добивка од мултиплексирање изнесува r ≤ min(NT, NR) каде r е рангот на каналната матрица H.
 Слични аргументи можат да се користат за да се изведе DMT за реалните системи кои оперираат преку спор или брз фединг, каде за спор фединг, Pout во информациско-теоретска смисла треба да се замени со Pout на реалниот систем [2], а за брз фединг со средната веројатност на грешка Pe.
 На пример, средната битска веројатност за грешка за бинарна фазна модулација (анг. BPSK - Binary Phase Shift Keying) во рејлиев фединг е:
(2.13) Pe = (1)/(2)(1 − ((γ)/(γ + 1)))
За голем однос сигнал-шум изразот (2.13↑) може да се апроксимира со:
(2.14) Pea = (1)/(4γ)
Ако се употреби изразот (2.10↑) ќе се добие дека за BPSK во рејлиев фединг се добива d = 1.

1.4 Карактеризација на фединг каналите

 Простирањето на радио брановите во безжичниот канал е комплексен феномен карактеризиран со различни ефекти како на пример повеќепатното простирање и засенување. Прецизен математички опис на овој феномен е или непознат или премногу комплесен за решлива анализа на комуникацискиот систем. Сепак, значителни напори се посветени на статистичко моделирање на овие различни ефекти. Резултатот е множество на релативно едноставни и точни статистички модели за фединг канали кои зависат од конкретната околина на простирање и конкретното комуникациско сценарио.

1.4.1 Главни карактеристики на фединг каналите

Флуктуација на анвелопата и фазата:
 доколку за време на преносот сигналот е под влијание на фединг, неговата анвелопа и фаза флуктуира со тек на време. За кохерентните модулации, ефектот на федингот врз фазата може сериозно да ги деградира перфомансите доколку не се превземат мерки за компеназација на ефектот во дестинацијата. Најчесто, анализата на системите кои користат кохерентна модуација претпоставува дека флукутацијата на фазата поради фединг идеално се корегира во дестинацијата што резултира во „идеална“ кохерентна демодулација. За некохерентната модулација, во дестинацијата не е потребна информацијата за фазата и затоа флукутацијата на фазата поради фединг не влијае врз перформансите на системот. Оттука, за анализата на перформансите за кохерентните и некохерентните модулации преку канали кои се под влијание на фединг потребно е познавање само на статистиката на анвелопата на федингот. Освен тоа, за така-наречениот спор фединг, каде федингот е константен за време на симболниот интервал, случајниот процес на анвелопата на федингот може да се претстави со случајна променлива за време на тој симболен интервал.
Спор и брз фединг: Разликата помеѓу спор и брз фединг е важна за математичко моделирање на фединг каналите и за евалуација на перформансите на комуникацискиот систем кој функционира по овие канали. Оваа идеја е врзана со кохерентното време Tc на каналот, кој го мери временскиот период во кој фединг процесот е корелиран (или еквивалетно, временски интервал после кој корелационата функција на два примероци од одзивот на каналот земени при иста фреквенција но различни временски моменти падне под одреден праг). Кохерентното време е во инверзна-пропорционална врска со Доплеровото раширување fd:
(2.15) Tc(1)/(fd)
 За каналот се вели дека е спор доколку времетраењето на симболот Ts е помало од кохерентното време Tc, а во спротивно се смета дека е брз. Во спор фединг дадено слабеење на сигналот поради фединг ќе влијае на повеќе последователни симболи, што води кон моментален наплив на грешки, додека во брз фединг слабеењето се менува од симбол до симбол.
Фреквентно-рамен и фреквентно-селективен фединг: Фреквентната селективност е исто така важна карактеристика на фединг каналите. Доколку сите спектрални компоненти од предавателниот сигнал се под еднакво влијание, федингот се вели дека е фреквентно-неселективен или феквентно-рамен. Ова е на пример случај за теснопојасните системи, во кои опсегот на испратениот сигнал е многу помал од кохерентниот пропусен опсег fc. Оваа метрика го мери фреквентниот опсег во кој фединг процесот е корелиран и е дефиниран како фреквентен опсег во кој корелационата функција на два примероци од импулсниот одзив на каналот земени во исто време но различни фреквенции паднее под дадена вредност. Дополнително, кохерентниот опсег е во инверзно-пропорционална врска со максималното време на раширување τmax:
(2.16) fc(1)/(τmax)
 Од друга страна, доколку фреквентните компоненти на предавателниот сигнал се афектирани од различни амплитудни и фазни флуктуации, федингот се вели дека е фреквентно-селективен. Ова се однесува на широкопојасните системи во кои пропусниот опсег на испратениот сигнал е поголем од кохерентниот опсег на каналот.

1.5 Моделирање на фединг каналите

 Кога федингот влијае врз теснопојасните системи, амплитудата на носителот на приемниот сигнал е модулирана од амплитудата на федингот α, каде α е случајна променлива со средна квадратна вредност Ω = E[α2] и функција на густина на веројатност pα(α), што зависи од природата на средината за пропагација на радио сигналите. Откако сигналот ќе помине низ фединг каналот тој е под влијание на додавачки Гаусов шум (AWGN) при што се претпоставува дека тој е статистички независен од амплитудата на федингот α, и е карактеризиран со едно-страничнa спектрална густина на моќност N0[W/Hz]. Еквивалентно, приемнaтa моментална моќност е модулирана со моќноста на федингот α2. На овој начин дефинираме моментален однос сигнал-шум по симбол:
(2.17) γ = α2(Es)/(N0), 
и среден однос сигнал-шум:
(2.18) γ = Ω⋅(Es)/(N0), 
каде Es е енeргијата на симболот. Перформансите на системите кои ќе бидат анализирани во оваа дисертација во општ случај ќе бидат функција од средниот однос сигнал-шум по симбол γ. Исто така, во анализите и симулациите, без да се изгуби општоста, за средната квадратна вредност на моќноста на каналот ќе земаме Ω = 1.
 Функцијата на густината на веројатност во зависност од γ се добива со функционална трансформација на случајните променливи со користење на (2.17↑) и (2.18↑):
(2.19) pγ(γ) = (pα(α))/(dγ ⁄ dα)||α = ((γ⋅Ω)/(γ)) = (pα(((γ⋅Ω)/(γ))))/(2⋅((γγ)/(Ω)))
Функцијата за генерирање на моменти (анг. MGF - Moment Generating Function) :
(2.20) Mγ(s) = 0pγ(γ)esγdγ, 
е уште една важна статистичка карактеристика на фединг каналите.

1.5.1 Повеќепатен фединг

 Повеќепатниот фединг е резултат на конструктивна или деструктивна комбинација на случајно задоцнетите, рефлектираните, расејаните и дифрактираните компоненти на сигналот. Овој тип на фединг е релеативно брз и е причина за краткотрајните варијации на сигналот. Зависно од природата на пропагационата средина за простирање на радио брановите, постојат различни модели кои го опишуваат статистичкото однесување на анвелопата на повеќепатниот фединг. Во оваа дисертација за опис на статистичкото однесување на анвелопата на федингот најчесто ќе се користи Рејлиевата распеделба [A]  [A] Освен во глава (5↓) каде ќе се коирстат и PDF-те на Рајс, Накагами и Веибул..  Оваа распределба многу често се користи за моделирање на повеќепатниот фединг во случај кога нема директна видливост (анг. LOS - Line-of-Sight) . Во овој случај амплитудата на фединг каналот (α) е распределена согласно:
(2.21) pα(α) = (2⋅α)/(Ω)e − (α2)/(Ω),  α ≥ 0
ако се следи (2.19↑), моменталниот SNR по симбол -γ е дистрибуиран согласно експоненцијалната PDF:
(2.22) p(γ) = (1)/(γ)exp − (γ)/(γ),  γ ≥ 0
Ако се замени (2.22↑) во (2.20↑) ќе се добие MGF-от за овој модел на фединг:
(2.23) Mγ(s) = (1 − sγ) − 1
 Рејлиевиот фединг покрај тоа што е погоден во случај кога нема директна видливост помеѓу изворот и дестинацијата погоден е и за пропагација на рефлектираните и прекршените патеки низ тропосверата, јоносферата, и брод-брод поморските радио линкови.

1.6 Краток преглед на докторската дисертација

 Во глава 2↓ ќе биде спроведена анализа од иформациско-теоретски аспект на придобивките од користење на кооперативните релејни комуникации. Имено ќе биде анализирана комуникација преку општи мрежи со повеќе делници [14]. Ќе биде анализиран релеен канал (анг. RC - Relay Channel) со три јазли, кој е модел за точка-точка комуникацијата со помош на реле. Капацитетот на релејнииот канал во генерален аспект не е познат и затоа ќе ја анализираме горната граница на капацитетот т.н. горна пресечна граница (анг. CUB - Cutset Upper Bound) ((3.16↓)) како и границите на капацитетот за основните релејни постапки (DF, AF, CF). Освен тоа, ќе бидат анализирани изразите за границите на овие релејни постапки за дуплескен RC и полудуплесен RC со фреквентна распределба во изворот и дестинацијата. Посебено внимание ќе се посвети на анализата на границите на капацитетот на овие на сите разгледувани релејни постапки во случај на Гаусов релеен канал.
 Во глава 3↓ ќе ја анализираме веројатноста на грешка и веројатноста за испад за релеен канал со две делници со повеќе влезови и повеќе излези кој користи Аламути кодирање [17] и варијанта на засили-и-проследи постапка наречена раздвои-и-проследи (анг. DCF - Decouple-and-Forward) во рамен Рејлиев фединг [20]. Веројатноста на грешка на МИМО релејниот канал со две делници со променливо засилување (VG) ќе биде спореден со веројатноста на грешка на релејниот канал со две делници и една антена во јазлите и веројатноста на грешка на МИМО релејните канали со две делници кои користата DF постапка во релето. Ќе бидe покажано дека DCF МИМО релејните канали постигнуваат значително подобри перформанси на грешка во споредба со системите со една антена и споредливи перформанси со DF МИМО системите. За овие системи веројатност на испад (OP) се споредува со OP на системите со две делници и една антена и точка-точка системите со две антени. Се покажува значително подобрување на OP перфомансите во споредба со перфомансите на системите со две делници и една антена и споредливи перформанси со точка-точка системите.
 Во глава 4↓ ќе прикажеме многу точни апроксимации за веројатноста на грешка за односи сигнал-шум кои се од практичен интерес за засили-и-проследи (AF) релеен канал со информации за статусот на каналот во релето и дестинацијата, кои користат повеќе антени во јазлите и ортогонално просторно-временско блоковско кодирање (анг. OSTBC - Orthogonal Space-Time Block Coding) кодирање преку рамен фединг. Дополнително за големи вредности на односот сигнал-шум ќе ја упростиме прецизната апроксимација во едноставна асиптотска апроксимација. Двете апроксимација ќе ги споредиме со точните вредности добени со нумеричка интеграција и со резултатите добиени со Монте Карло симулации. Во продолжението на главата ќе презентираме груба апроксимација на веројатноста за грешка за претходно анализираниот систем. Грубата апроксимација на веројатноста за грешка ќе ја споредиме со претходно добиените точните вредности со Монте Карло симулации, нумеричка интеграција на соодветните MGF-и и резултатите добиени со прецизната апроксимација.
Освен тоа во оваа глава ќе презентираме прецизна и груба апроксимација на веројатноста за испад (OP) за целиот однос сигнал-шум кој е од практичен интерес за AF релејните канали со информации за каналот достапни во релето и дестинацијата, кои користат повеќе антени во јазлите и OSTBC пренос преку рамен Рејлиев фединг. Резултатите за веројатноста на испад добиени со овие апроксимации ќе бидат споредени со точните резултати за веројатноста на испад добиени со нумеричка инверзија на лапласовата трансформација на функцијата за генерирање на моменти и со резултатите добиени со Монте Карло симулации.
Во продолжение на главата 4↓ ќе ги анализираме перформансите на МИМО релејните канали со директна патека до дестинацијата. За упростување на математичката анализа ќе ги упростиме претходно изведените апроксимативни изрази за PDF и CDF за засили-и-проследи МИМО релеен канал без директна патека на начин идентичен со пристапот на добивање на грубите BEP и OP апроксимации. Со употреба на така добиениот едноставен израз за PDF на МИМО релејниот канал без директна патека ќе бидат изведени апроксимативните изрази во затворена форма за веројатноста за испад на AF релејните МИМО системи кај кои постои дирекна патека до дестинацијата. Резултатите добиени од овие апроксимации ќе се споредат со резултатите добиени за системите за кои не постои директна патека од изворот до дестинацијата.
 Во глава 5↓ ќе ги анализираме крај-крај перформансите за испад на релеен канал со повеќе делници кој користи засили-и-проследи (AF) релејна постапка во Рејлиев, Накагами, Рајсов и Веибул фединг. Ќе бидат споредени веројатностите на испад за фиксно (FG) и променливо засилување (VG). Веројатноста на испад за повеќеделничните системи во услови на Рејлиев, Накагами и Веибул фединг може да се одреди само со комбинирање на аналитичките резултати со нумерички методи за интеграција. Ќе покажеме дека системите со фиксно засилување покажуваат подоби OP перформанси во споредба со системите со променливо засилување за сите фединг околини за односи сигнал-шум кои се од практичен интерес. Ќе покажеме дека разликата во перформаниси се зголемува со бројот на делници.
 Во глава 6↓ ќе го анализираме и споредиме капацитетот за точка-точка и релејните МИМО канали. Особено внимани ќе се посвети на ваквите системи во случај на користење на OSTBC кодирање. Ќе бидат анализирани перфомансите на капацитетот на овие системи од аспект на анализа на ергодичниот капацитет и веројатноста на капацитетен испад. Ќе покажеме дека ергодичниот капацитет на МИМО релејниот канал се приближува до ергодичниот капацитет на точка-точка МИМО каналот со зголемување на бројот на антени. Исто така ќе покажеме дека МИМО релејниот канал има полоши перформанси на капацитетен испад во споредба на точка-точка системите при што разликата во перформанси се зголемува со зголемување на односот сигнал-шум. На крај ќе биде анализиран ергодичниот капацитет и веројатноста на капацитетен испад за релејните МИМО канали со директна патека до дестинацијата и ќе бидат споредени нивните перформанси со перформансите на релејните МИМО канали без директна патека.
Во глава 7↓ ќе биде изложен заклучокот на тезата.
\rightmark
\thepage
\sloppy

2 Капацитет на кооперативните релејни канали

 Во оваа главата ќе биде дадена инфомациско теоретска анализа на комуникациите преку општи мрежи со повеќе делници [14]. Во таа насока ќе биде анализиран релејниот канал со три јазли, кој е модел за точка-точка комуникацијата со помош на реле, како на пример комуникација помеѓу две базни станици преку терестријален и сателитски линк, или помеѓу два јазли во меш мрежа со среден јазол кој се однесува како реле. Капацитетот на релејнииот канал во генерален аспект не е познат. Затоа ќе ја анализираме горната граница на капацитетот т.н. горна пресечна граница (CUB) (3.16↓). Исто така ќе дискутираме неколку кодирачки шеми кои се оптимални во некои одредени случаии. Прво ќе ги дискутираме следниве две екстремни методи:
- Метод на директен пренос (анг. DT - Direct Transmission) : Во оваа едноставна шема, релето не се користи активно во комуникацијата.
- Декодирај-и-проследи (DF): Во оваа метода со повеќе делници, релето игра централнa улога во комуникацијата. Тоа ги декодира пораките и кохерентно соработува со изворот за да истите ги комуницира со дестинацијата. Оваа метода вклучува техника на блоковско Марково кодирање [25], декодирање наназад [26] и употреба на складирање по кошнички (анг. RB - Random Binning) во каналното кодирање [28]. Ќе видиме дека директниот пренос може да постигне поголем капацитет од декодирај-и-проследи кога каналот од изворот до релето е полош од каналот од релето до дестинацијата.
- Компримирај-и-проследи (CF): Во овој метод, релето не се обидува да ја реконструира пораката. Наместо тоа, релето користи Wyner-Ziv кодирање [27] при што примената низа на информациони бити се однесува како странична информација, и се препраќа индексот на кошничката. Дестинацијата потоа го декодира индексот на кошничката, и ја бара соодетната реконструкција на примената низа од информациони бити во релето и заедно со помош на сопствената приемна низа ја реконструира пораката. Компримирај-и-проследи методот се покажува дека е оптимален за класа на детерминистички релејни канали и за примерот на RC кој користи сума со модул 2 (види глава 8.2↓) чиj капацитет се покажува дека е секогаш помал од горната пресечна граница (CUB).
 Мотивирани од безжичните мрежи, ќе ги анализираме следниве два модели на Гаусови релејни канали.
- Дуплексен Гаусов релеен канал: Капацитетот за овој модел не е познат за произволно множество на ненулти вредности на каналните параметри. За овој тип на релеен канал ќе биде споредена горната граница на множеството на пресеци со долната граница за декодирај-и-проследи и компримирај-и-проследи методите.
- Полудуплексен Гаусов канал со фреквентна распределба во приемникот na дестинацијата: За овој тип на релеен канал ќе биде покажано дека границата на капацитетот на декодирај-и-проследи е идентична со CUB за одредени вредности на параметрите на каналот. Потоа ќе биде презентирана засили-и-проследи методата за кодирање во која релето испраќа сразмерна верзија од сигналот што претходно го примил. Потоа, засили-и-проследи методата ќе биде генерализирана со линеарни релејни функции кои се тежински суми од претходно примените сигнали и ќе биде воспоставена еднозначна карактеризација на капацитетот на ваквиот канал.

2.1 Горна пресечна граница на капацитетот

 Релејниот канал всушност претставува комуникациски систем со три јазли [29] кој е претставен на слика 2.1↓. Изворот (јазол 1) сака да ја комуницира пораката W со дестинацијата (јазол 3) со помош на релето (јазол 2). Во оваа глава ќе разлгедуваме дискретен релеен канал без мемеорија (анг. DMRC - Discrete Memoryless Relay Channel) кој се означува со изразот: (X1×X2,  p(y2, y3|x1, x2),  Y2×Y3) и кој се состои од четири конечни множества X1, X2, Y2, Y3 , и условните веројатности p(y2, y3|x1, x2) на множеството Y2xY3 една за секој (x1, x2) ∈ \mathnormalX\mathnormal1x\mathnormalX\mathnormal2, каде x1 е сигналот на излез од изворот, y2 сигнал на влезот на релето, y3 сигнал на влез од дестинацијата, и x2 предавателен сигнал на релето (чии симболи е дозволено да зависат од поранешните симболи на y2). Зависноста на примените симболи од влезните симболи е опишана со условната веројатност p(y3,  y2|x1,  x2).  Индексирањето во продолжението на глава 2↑ ќе биде согласно следната наотација: Adbc , кадe A ја означува случајната променлива или процес, b го означува јазолот на кој се однесува таа случајна променлива (на пример ако b = 2 тогаш се работи за релето, а ако b = 3 тогаш се работи за дестинацијата), c го означува моменталниот временски индекс од случајниот процес [9], и d го означува крајниот временски индекс од случајниот процес. Случајните променливи кои ги претставуваат реконструираните сигнали во релето ќе ги означуваме со „ ̃ “, a реконструираните сигнали во дестинацијата ќе ги означуваме со „ ̂ “.
figure Images/Tocka-tocka komunikaciski sistem so rele.png
Figure 2.1 Точка-точка комуникациски систем со реле
Кодот (2nR, n) за DMRC се состои од:
- множество на пораки [1:2nR] ,
- кодер кој го доделува кодниот збор xn1(w) на секоја порака w ∈ [1:2nR],
- кодер во релето кој го доделува симболотx2i(yi − 12) на секоја претходно примена низа yi − 12 ∈ Yi−12 за секој временски интевал i ∈ [1:n], и
- декодер кој ја доделува естимацијата или грешката e на секоја од примените низи yn3 ∈ Yn3 .
Каналот е без меморија во смисол дека моментално примените симболи (Yi2, Yi3) и пораките и поранешните симболи (w, Xi−11, Xi−12, Yi−12, Yi−13) се условно независни ако се дадени моментално испратените симболи (Xi1, Xi2).
Претпоставуваме дека пораките W се униформно распределени.
За да се одговори на ова прашање ќе се користи следниов модел на каналот.
(M, n) кодот во релето се состои од множество на индекси кои треба да се пренесат:
(3.4) \mathnormalW = {\mathnormal\mathnormal1, 2, ..., M}\mathnormal[1, M]
од енкодирачка функција
(3.5) x1:W → X\mathnormaln\mathnormal1, 
множество од релејни функции {fi}ni = 1 :
(3.6) \mathnormalx2i = fi(Y21, Y22, …, Yi − 1),  1 ≤   i ≤ n
и функција за декодирање:
(3.7) g: Yn3 → W.
Предавтелниот сигнал во релето x2i е дозволено да зависи од изминатите (i − 1) влезни сигнали во релето yi − 12 = (y21, y22, …, y2 i − 1). Каналот е без меморија во смисла дека (y3i,  y2i) зависат само од изминатите (xi − 11, xi − 12) само преку моментално испратените симболи (x1 i, x2 i). На тој начин за било кој избор на p(w),  w ∈ M, и избор на код x1:\mathnormalW → \mathnormalX\mathnormaln\mathnormal1 и релејни функции {fi}ni = 1, здружената функција на распределба на веројатноста (PMF) на множеството \mathnormalW\mathnormal x \mathnormalX\mathnormaln\mathnormal1 \mathnormalx \mathnormalX\mathnormaln\mathnormal2\mathnormalx\mathnormal Y\mathnormaln\mathnormalx \mathnormalY\mathnormaln\mathnormal1 е дадена со:
(3.8) p(w, x1, x2, y3, y2) = p(w)ni = 1p(x1i|w)p(x2i|y21, y22, …, y2i − 1)⋅p(y3i, y2i|x1i, x2i)
На пример за n = 2 здружената PMF дадена со (3.8↑) се сведува на:
p(w, x1, x2, y3, y2) = p(w)2i = 1p(x1i|w)p(x2i|y21, y22, …, y2i − 1)⋅p(y3i, y2i|x1i, x2i) = 
(3.9)  = p(w)⋅p(x11|w)p(x21)⋅p(y31, y21|x11, x21)p(x12|w)p(x22|y21)⋅p(y32, y22|x12, x22)
Од изразот (3.9↑) може да се заклучи дека X1 зависи од W, X2 зависи од Y2, a (Y3, Y2) зависат од (X1, X2).
Доколку е испратена пораката w ∈ W, условната веројатност на грeшка е:
(3.10) λ(w) = Pr{g(Y3) ≠ w}
а средната веројатност на грешка:
(3.11) P(n)e = P( ≠ W) = (1)/(M) wλ(w)
односно веројатноста за грешка се пресметува за специјален случај за униформна распределабa на влезните симболи w ∈ [1, M].
Максималната веројатност на грешка за (M, n) кодот е:
(3.12) λn = maxw ∈ W{λ(w)}
Брзината на пренесување на пораките на (M, n) кодот е:
(3.13) R = (1)/(n)log(M)
Брзината на пренесување R се вели дека е достиглива за DMRC доколку постои низа (2nR, n) на кодови така што limn→∞P(n)e = 0. Капацитетот C на DMRC е максимум од сите достигливи брзини на пренесување.Toj не е познат во затворена форма и затоа ќе ги дискутираме горните и долните граници на капацитетот кои се многу точни за одредени класи на релејни канали.
 Многу често се разгледува тип на DMRC кај кои приемниот сигнал во релето y2 е подобар од сигналот во дестинацијата y3 кои се нарекуват деградирани релејни канали. Релејниот канал (\mathnormalX\mathnormal1x\mathnormalX\mathnormal2, \mathnormalp(y3,  y2|x1, x2), \mathnormalY2x\mathnormalY3) се нарекува деградиран доколку p(y3,  y2|x1, x2) може да се напише во следнава форма.
(3.14) p(y3, y2|x1, x2) = p(y2|x1, x2)⋅p(y3|y2, x2)
Од изразот (3.14↑) следи дека релејниот канал е деградиран доколку p(y3|x1, x2, y2) = p(y3|x2, y2) т.е., X1 → (X2, Y2) → Y3 формираат Марков ланец [9].
 Bо најопшт случај горната граница на капацитетот C за DMRC е дадена со следнава теорема [14].
Горна пресечна граница за DMRC
(3.16) C ≤ maxp(x1x2)min{I(X1, X2;Y3), I(X1;Y2, Y3|X2)}
Оваа граница се нарекува горна пресечна граница затоа што членовите во минимумот можат да се интерпретираат како кооперативна комбинација на повеќе-пристапен канал [9] и дифузен канал [9] што е илустрирано во слика 2.2↓.
figure Images/Interpretacija na gornata presecna granica.png
Figure 2.2 Интерпретација на горната пресечна граница со минимален пресек - максимален проток
 CUB е многу прецизна за многу класи на DMRC со познат капацитет. Сепак таа не е толку прецизна во општ случај како што ќе биде покажано во глава 2.3↓. CUB е всушност генерализација на добро познатата теорема за максимален тек и минимален пресек [31] во рамките на теоријата на информациите.
Доказ на теорема 2.1↑:
Ако е даден произволен (M, n) код за релејниот канал, функцијата на распределба на веројатност на здружениот ансамбл W, X1, X2, Y3, Y2 е дадена со:
(3.17) p(w, x1, x2, y3, y2) = \oversetp(w)(1)/(M)p(x1|w)⋅ni = 1p(x2i|y21, ..., y2i − 1)p(y3i, y2i|x1i, x2i)
Да ja разгледуваме еднаквоста:
(3.18) nR = H(W) = I(W;Y3) + H(W|Y3)
Од нееднаквоста на Фано [9]:
(3.19) H(W|Y3) ≤ 1 + P(n)enRnδn
каде δn → 0 како n → ∞. На тој начин:
(3.20) nR ≤ I(W;Y3) + nδn
Сега ќе ја побараме горната граница на I(W;Y3) [29].
Од нееднаквоста на Фано [9] следи:
(3.33) nR = H(W) = I(W;Yn3) + H(W|Yn3) ≤ I(W;Yn3) + nϵn
каде ϵn → 0 ако n → 0. Понатаму следи:
(3.34) I(W;Yn3) ≤ min{ni = 1I(X1i, X2i;Y3i), ni = 1I(X1i;Y2i, Y3i|X2i)}
- Првиот член од минимумот се добива од:
I(W;Yn3) = ni = 1I(W;Y3i|Yi − 13)\overset(a) ≤ ni = 1I(W, Yi − 13;Y3i) ≤ 
(3.35)  ≤ ni = 1I(X1i, X2i, W, Yi − 13;Y3i)\overset(b) = ni = 1I(X1i, X2i;Y3i)
(a) - следи од следниве изрази:
I(W;Y3i|Yi − 13) ≤ I(W, Yi − 13;Y3i) = I(Yi − 13;Y3i) + I(W;Y3i|Yi − 13) ≤ I(X1iX2iW, Yi − 13;Y3i)
(3.36) I(X1iX2iW, Yi − 13;Y3i) = H(Y3i) − H(Y3i|X1iX2iW, Yi − 13)\overset(c) ≥ I(W, Yi − 13;Y3i)
(b) - следи од следниве изрази:
I(X1iX2iW, Yi − 13;Y3i) = H(Y3i) − H(Y3i|X1iX2iW, Yi − 13)\overset(d) = 
(3.37)  = H(Y3i) − H(Y3i|X1iX2i) = I(X1iX2i;Y3i)
(c) - следи од фактот дека условеноста ја намалува ентропијата [9]
(d) - следи од претпоставката дека се работи за канал без меморија односно W, Yi − 13 → X1iX2i → Y3i формираат марков ланец [9].
- Вториот член од минимумот во (3.34↑) e:
I(W;Yn3) ≤ I(W;Yn3Yn2) = ni = 1I(W;Y2iY3i|Yi − 12Yi − 13)\overset(a) = ni = 1I(W;Y2iY3i|Yi − 12Yi − 13X2i) ≤ 
(3.38) \overset(b) ≤ ni = 1I(X1i, W, Yi − 12Yi − 13;Y2iY3i|X2i)\overset(c) = ni = 1I(X1i;Y2iY1i|X2i)
Каде:
(a) следи од изборот на релејната функција 3.6↑ согласно која X2i е функција од Yi − 12
(b)
(3.39) I(W;Y2iY3i|Yi − 12Yi − 13X2i) + I(Yi − 12Yi − 13;Y2iY3i|X2i) = I(Yi − 12Yi − 13, W;Y2iY3i|X2i)
Од (3.39↑) се добива дека:
(3.40) I(Yi − 12Yi − 13, W;Y2iY3i|X2i) ≥ I(W;Y2iY3i|Yi − 12Yi − 13X2i)
(3.41) I(X1iYi − 12Yi − 13, W;Y2iY3i|X2i) = I(Yi − 12Yi13, W;Y2iY3i|X2i) + I(X1i;Y2iY3i|W, X2iYi − 12Yi − 13)
Со замена на (3.40↑) во (3.41↑) се добива:
(3.42) I(X1iYi − 12Yi13, W;Y2iY3i|X2i) ≥ I(Yi − 12Yi13, W;Y2iY3i|X2i) ≥ I(W;Y2iY3i|Yi − 12Yi − 13X2i)
(c)
I(X1i, W, Yi − 12Yi − 13;Y2iY3i|X2i) = H(Y2iY3i|X2i) − H(Y2iY3i|X2iX1i, W, Yi − 12Yi − 13) = 
(3.43)  = H(Y2iY3i|X2i) − H(Y2iY3i|X2iX1i) = I(X1i;Y2iY1i|X2i)
Ако се дефинира помошна променлива Z ~ Unif[1:n] која е независна од (Xn1, Xn2, Yn2, Yn3) која зема вредности во множеството {1, ..., n} со веројатност:
(3.44) P(Z = i) = (1)/(n) 1 ≤ i ≤ n.
и доколку се земе:
(3.45) X1X1Z,  X2X2Z,  Y3Y3Z Y2Y2Z
(1)/(n)ni = 1I(X1i, X2i;Y3i) = (1)/(n)ni = 1I(X1Z, X2Z;YZ|Z = i) = I(X1, X2;Y3|Z) = 
 = H(Y3|Z) − H(Y3|Z, X1, X2)\overset(a) ≤ H(Y3) − H(Y3|Z, X1, X2)\overset(b) = 
(3.46)  = H(Y3) − H(Y3|X1, X2) = I(X1, X2;Y3)
Каде (a) следи од правилото дека условувањето ја намалува ентопија, а еднаквоста (b) следи од Марковиот ланец Z → (X1X2) → (Y3, Y2) кој е последица на каналот и кодот.
На сличен начин се добива:
(3.47) (1)/(n)ni = 1I(X1i;Y3i, Y2i|X2i) = I(X1;Y3, Y2|X2, Z) ≤ I(X1;Y3, Y2|X2)
Доколку изразите (3.46↑) и (3.47↑) се заменат соодветно во (3.35↑) и (3.38↑) се добива
(3.48) I(W;Yn3) ≤ ni = 1I(X1iX2i;Y3i) = nI(X1X2;Y3|Z) ≤ nI(X1X2;Y3)
(3.49) I(W;Yn3) ≤ ni = 1I(X1i;Y2iY1i|X2i) = nI(X1;Y2Y1|X2Z) ≤ nI(X1;Y2Y1|X2)
Доколку (3.48↑) и (3.49↑) се заменат во (3.34↑) и (3.33↑) се добива:
(3.50) R ≤ min{I(X1X2;Y3), I(X1;Y2Y1|X2)}
со што се докажува теоремата 2.1↑.

2.2 Декодирај-и-проследи релеен канал

 Една едноставна метода за кодирање во релејниот канал e директен пренос. Во оваа метода се фиксира преносот од релето на најповолниот симбол за каналот од изворот кон дестинацијата така што се добие најдобар капацитет на каналот од изворот до дестинацијата и да се комуницира пораката директно со користење на оптимално точка-точка канално кодирање. Капацитетот на релејниот канал ќе биде ограничен од долната страна со капацитетот на деградираниот DMRC т.е.
(3.51) CDT ≥ maxx2 ∈ \mathnormalX2maxp(x1)I(X1;Y3|x2)
Во другата екстрема од директниот пренос, методата декодирај-и-проследи (DF) силно се потпира на рeлето за да ја помогне комуникацијата на пораката меѓу изворот и дестинацијата. Оваа метода ќе ја анализираме во три чекори.
 Во првите два чекори, ќе користиме каскаден релеен канал во кој дестинацијата го смета сигналот од изворот како шум. Методата декодирај-и-проследи оди чекор понапред во споредба со каскадниот релеен канал со тоа што дестинацијата дополнително ги декодира информациите испратени директно од изворот.

2.2.1 Каскаден релеен канал

 Во каскадниот релеен канал, релето ја реконструира пораката примена од изворот во секој блок и ја препраќа во наредниот блок. На тој начин се добива долната граница на капацитетот на DMRC:
(3.52) C ≥ maxp(x1)p(x2)min{I(X2;Y3), I(X1;Y2|X2)}
Не е тешко да се покаже дека оваа долнa граница е достиглива кога DMRC се состои од каскада од два дискретни канали без меморија (DMC-Discrete Memoryless Channel) , т.е. p(y2, y3|x1, x2) = p(y2|x1)p(y3|x2). Во овој случај изразот за капацитет се сведува на:
C = maxp(x1)p(x2)min{I(X2;Y3), I(X1;Y2|X2)} = 
(3.53)  = maxp(x1)p(x2)min{I(X2;Y3), I(X1;Y2)} = min{maxp(x2){I(X2;Y3)}, maxp(x1){I(X1;Y2)}}
Доказот на достигливоста на долната граница за каскадниот релеен канал користи b преносни блокови, секој се состои од n испраќања, како што е илустрирано на слика 2.3↓. Низа од (b−1) пораки W j , j ∈ [1:b − 1] , при што секоја се избира независно и рамномерно од множеството [1:2nR], се испраќа преку b блокови. Без да се изгуби општоста, претпоставуваме дека wb = 1. Треба да се забележи дека средната брзина на пренос во b блокови е R⋅(b−1) ⁄ b, што може да се приближи по потреба до R со соодветен избор на b.
figure Images/Mnozesto na blokovi.png
Figure 2.3 Множество на пренесувани блокови кое се користи во каскадниот релеен канал
Генерирање на кодната книга: Се фиксира производот на функциите на распределба на веројатноста p(x1)⋅p(x2) кој ја достигнуваат долната граница на каскадниот релеен канал дадена со (3.52↑). Случајно и независно се генерира кодна книга за секој блок. За секое j ∈ [1:b], случајно и независно се генерираат 2nR низи xn1(wj), wj ∈ [1:2nR], во согласност со веројатноста: ni = 1pX1(x1i). На сличен начин, се генерираат 2nR низи xn2(wj−1), wj−1 ∈ [1:2nR], секоја во согасност со ni = 1pX2(x2i). Со ова се дефинира кодната книга:
(3.54) Cj = {(xn1(wj), xn2(wj − 1)):wj − 1, wj ∈ [1:2nR]},  j ∈ [1, ..b].
Кодните книги се откриваат на сите јазли (извор, дестинација и реле).
Кодирање: Да земемеме дека wj ∈ [1:2nR] е новата порака што треба да се испрати во блокот j. кодерот во изворот ја испраќа низата xn1(wj) од кодната книга Cj.
Кодирање во релето: По конвенција препоставуваме 0 = 1. На крај од блокот j, релето ја наоѓа уникатната порака j така што (xn1(wj̃), xn2(j − 1), yn2(j)) ∈ \mathnormalA(n)ϵ. Во блокот j + 1, тој ја испраќа низата xn2(j) од кодната книга Cj + 1.
блок \mathnormal1 \mathnormal2 \mathnormal3 \mathnormal4 ... \mathnormalj ... \mathnormalb \hline\mathnormalX1 \mathnormalx1(w1) \mathnormalx1(w2) \mathnormalx1(w3) \mathnormalx1(w4) ... \mathnormalx1(wj) ... \mathnormal1 \hline\mathnormalY2 \mathnormal1 \mathnormal2 \mathnormal3 \mathnormal4 ... \mathnormalj ... \mathnormal0 \hline\mathnormalX2 \mathnormalxn2(1) \mathnormalx2(1) \mathnormalx2(2) \mathnormalx2(3) ... \mathnormalx2(j − 1) ... \mathnormalx2(b − 1) \hline\mathnormalY3 \mathnormal0 \mathnormal1 \mathnormal2 \mathnormal3 ... \mathnormalj − 1 ... \mathnormalb − 1
Table 2.1 Кодирање во каскаден релеен канал
Бидејќи кодниот збор испратен во релето статистички зависи од пораката испратена во претходниот блок, овoj начин на кодирaње се нарекува блоковско Марково кодирање - BMC (анг. BMC - Block Markov Coding).
Декодирање: На крајот од блокот j + 1, дестинациjата бара уникатна порака j така што (xn2(j), yn3(j + 1)) ∈ A(n)ϵ.
Анализа на веројатноста за грешка: Ќе ја анализираме веројатноста за грешка при декодирање за пораката Wj усреднета по кодните книги. Без да се изгуби општоста претпоставуваме дека Wj = 1. Да претпоставиме дека j е естимацијата на пораката во релето на крај од блокот j. Бидејќи:
(3.55) {j ≠ 1} ⊆ {j ≠ 1}{j ≠ j}
декодерот ќе направи грешка само доколку еден или повеќе од следниве настани се случат:
(3.56) 1(j) = {(Xn1(1), Xn2(j − 1), Yn2(j)) ≠ A(n)ϵ}
(3.57) 2(j) = {(Xn1(wj), Xn2(j − 1), Yn2(j)) ∈ A(n)ϵ за некое wj ≠ 1}
(3.58) E1(j) = {Xn2(j), Yn3(j + 1) ≠ A(n)ϵ}
(3.59) E2(j) = {(Xn2(wj), Yn3(j + 1)) ∈ A(n)ϵ за некое wj ≠ j}
На овој начин веројатноста на грешка е ограничена како:
P(E(j) = P{j ≠ 1}) ≤ P(1(j)2(j)E1(j)E2(j)) ≤ 
(3.60)  ≤ P(1(j)) + P(2(j)) + P(E1(j)) + P(E2(j))
каде првите два члена ја даваат горната граница на P{j ≠ 1}, а преостанатите два члена ја даваат горната граница на P{j ≠ j}.
Сега, од независноста на кодните книги, естимацијата на пораката во релето j − 1 , која е функција од Yn2(j−1) и кодната книга Cj−1 , е независнa од кодните зборови Xn1(wj), Xn2(wj − 1), wj, wj−1 ∈ [1:2nR], од кодната книга Cj . Оттука, од законот за големи броеви [15] (LLN - Law of Large Numbers) P(1(j)) → 0 како n → ∞, и од лемата за пакување , [14], P(2(j)) → 0 како n → ∞ доколку R < I(X1;Y2|X2) − δ(ϵ). Слично, од независноста на кодните книги и од LLN, P(E1(j)) → 0 како n → ∞, и од истата независност и од лемата за пакување, P(E2(j)) → 0 како n → ∞ доколку R < I(X2;Y3) − δ(ϵ). На тој начин се покажува дека под услов на дадените ограничувања на брзината на пренесување, P{j ≠ j} → 0 како n → ∞ за секое j ∈ [1:b−1] со што се докажува долната границата за каскадниот релеен канал.

2.2.2 Кохерентен каскаден релеен канал

 Брзината на пренос што се постигнува со каскадниот релеен канал може да се подобри доколку се дозволи изворот и релето кохерентно да соработуваат во испраќањето на нивните кодни зборови. Со ова подобрување, ќе се добие долната граница на капацитетот за DMRC:
(3.61) C ≥ maxp(x1, x2)min{I(X2;Y3), I(X1;Y2|X2)}
Повторно се користи блоковско Марково кодирање во кое низа од (b−1) i.i.d пораки Wj,  j ∈ [1:b−1], се испраќаат преку b блокови при што секој блок се состои од n пристапи до каналот.
Генерирање на кодна книга: Се фиксира веројатноста p(x1, x2) на вредности кои ја остваруваат долната граница во (3.61↑). За j ∈ [1:b], случајно и независно се генерираат 2nR низи xn2(wj − 1), wj−1 ∈ [1:2nR], секоја согласно ni = 1pX2(x2i). За секое wj−1 ∈ [1:2nR], случајно и условно независно се генерираат 2nR низи xn1(wj|wj−1), wj ∈ [1:2nR], секоја согласно ni = 1pX1|X2(x1i|x2i(wj−1)). Ова ја дефинира кодната книга:
(3.62) Cj = {(xn1(wj|wj − 1), xn2(wj − 1)):wj − 1, wj ∈ [1:2nR]},  j ∈ [1:b]
Кодните книги се разоткриваат на сите јазли (изворот, дестинацијата и релето).
Блок 1 2 3 4 b − 1 b
X1 xn1(w1|1) xn1(w2|w1) xn1(w3|w2) ... xn1(wb − 1|wb − 2) xn1(wb|wb − 1)
Y2 1 2 3 ... b − 1 0
X2 xn2(1) xn2(1) xn2(2) ... xn1(b − 2) xn2(b − 1)
Y3 0 1 2 b − 2 b − 1
Table 2.2 Кодирање и декодирање за кохерентен каскаден релеен канал
Кодирање во изворот: Да земеме дека wj ∈ [1:2nR] е пораката што треба да се испрати во блокот j. Кодерот во изворот ја испраќа низата x1(wj|wj − 1) од кодната книга Cj, каде по конвенција w0 = wb = 1.
Кодирање во релето: По конвенција, да земеме дека 0 = 1. На крај од блокот j, релето наоѓа уникатна порака j така што (xn1(j|j − 1), xn2(j − 1), yn2(j)) ∈ A(n)ϵ. Во блокот j + 1, тоа го испраќа xn2(wj) од кодната книга Cj + 1.
Декодирање во дестинацијата: На крај од блокот j + 1, дестинацијата наоѓа уникатна порака j така што (xn2(j), yn2(j + 1)) ∈ A(n)ϵ.
Анализа на веројатноста на грешка: Ќе ја анализираме веројатноста за грешка при декодирање на Wj усреднета по сите кодни книги. Без да се наруши општоста да претпоставиме дека Wj − 1 = Wj = 1 . Да претпоставиме дека j е естимација на пораката во релето на крај од блокот j. Декодерот прави грешка доколку се случи еден или повеќе од следните настани:
(3.63) (j) = {j ≠ 1}
(3.64) E1(j) = {Xn2(j), Yn3(j + 1) ≠ A(n)ϵ}
(3.65) E2(j) = {(Xn2(wj), Yn3(j + 1)) ∈ A(n)ϵза некои wj ≠ j}
На овој начин, веројатноста на грешка е ограничена од горе како:
(3.66) P(E(j)) = P{j ≠ 1} ≤ P((j)E1(j)E2(j)) ≤ P((j)) + P(E1(j)) + P(E2(j))
со следење на истите чекори за анализа како во глава 2.2.1↑, последните два члена P(E1(j)) и P(E2(j)) од изразот 3.66↑, тежнеат кон нула како n → ∞ доколку R < I(X2;Y3) − ϵ. За да се најде горната граница за првиот член P((j)), се дефинира:
(3.67) 1(j) = {(Xn1(1|j − 1), Xn2(j − 1), Yn2(j))A(n)ϵ}
(3.68) 2(j) = {(Xn1(wj|j − 1), Xn2(j − 1), Yn2(j)) ∈ A(n)ϵза некои wj ≠ 1}
тогаш:
P((j)) ≤ P((j − 1)1(j)2(j)) ≤ 
(3.69)  ≤ P((j − 1)) + P(1(j)c(j − 1)) + P(2(j))
(3.70) P(1(j)c(j − 1)) = P{(Xn1(1|j − 1), Xn2(j − 1), Yn2(j))A(n)ϵ, j − 1 = 1} ≤ 
(3.71)  ≤ P{(Xn1(1|1), Xn2(1), Yn2(j))A(n)ϵ|j − 1 = 1}
која од независноста на кодните зборови и законот за големи броеви, тежнее кон нула како n → ∞. Од лемата за пакување [14], P(2(j)) тежнее кон нула како n → ∞ доколку R < I(X1;Y2|X2) − δ(ϵ). Треба да се забележи дека по дефиниција 0 = 1. Оттука, со индукција, \strikeout off\uuline off\uwave offP((j))\uuline default\uwave default тежнее кон нука како n → ∞ за секое j ∈ [1:b−1]. На тој начин се покажува дека при дадени ограничувања на брзината на пренос на податоци, P{j ≠ j} → 0 доколку n → ∞ за секое j ∈ [1:b−1]. Со ова се комплетира доказот за достигливоста на кохерентната долна граница во (3.61↑).

2.2.3 Декодирај-и-проследи релеен канал

 Перформансите на кохерентниот каскаден релеен канал може да се подобрат доколку дестинацијата ги декодира истовремено пораките испратени од изворот и од релето.
Долна граница за декодирај-и-проследи
Капацитетот на DMRC е ограничен од долна страна со [14]:
(3.72) C ≥ maxp(x1x2)min{I(X1X2;Y3), I(X1;Y2|X2)}
Треба да се забележи дека оваа граница се разликува од CUB во тоа што здружената информација во пресечната граница го вклучува Y3 во вториот член за минимизација. Ќе видиме дека наместо да избереме кодирачката функција (3.6↑) на релето да зависи од конечен број на претходно пратени y2, капацитетот C може да се достигне со користење на блоковскa маркова зависност (анг. BMC - Block Markov Coding) на x2 од y2[25]. Во таков случај кодниот збор што релето го праќа во даден блок зависи статистички од пораката пратена во претходнот блок.
Доказ: Теоремата 2.2.3↑ ќе ја докажеме со случајно кодирање со складирање во кошнички. Дополнително таа може да се докаже и со декодирање наназад [14]. Во кодирањето со складирање во кошнички, изворот и релето кооперативно го испраќаат индексот на кошничката Sj на пораката Wj (наместо да ја испраќаат самата порака) во блокот j + 1 за да и помогнат на дестинацијата да ја реконструира пораката Wj. Разгледуваме b блокови, секој со по n симболи. Низа од b − 1 пораки wj ∈ [1, 2nR],  j = 1, 2, ..., b − 1 ќе се испрати со nb употреби на каналот. (Треба да се забележи ако b → ∞,  за фиксно n, брзина на пренесување е R⋅(b − 1) ⁄ b е произволно блиску до R.)
Прво случајно се генерираат M2 = 2nR2 независни идентично дистрибуирани (i.i.d) n-низи во \mathnormalX\mathnormaln\mathnormal2 , секоја генерирана согласно веројатноста p(xn2) = ni = 1p(x2i). Така генерираните низи се индексираат како xn2(s),  s ∈ [1, 2nR2]. За секое xn2(s), се генерираат M = 2nR условно независни n-низи xn1(w|s),  w ∈ [1, 2nR] генерирани согласно веројатноста p(xn1|xn2(s)) = ni = 1p(x1i|x2i(s)) (Со оваа постапка за секоjа кошничка s се генерира посебна кодна книга од 2nR елементи. На крајот финалната кодна книга содржи 2nR2 x2nR елементи.). На овој начин се дефинира случајна кодна книга Cj\mathnormal = {xn1(w|s), xn2}.
 Случајната низа од кошнички B\mathnormal = {S1, S2..., S2nR2} се дефинира на следниов начин: Да избереме секој природен број w ∈ [1, 2nR] да се назначи независно, согласно униформната дистрибуција на индексите s = 1, 2, ..., 2nR2, во кошничката Ss. Ќе ја користиме нотацијата s(w) да го означиме индексот на кошничката во која w е складира
Блок 1 2 ... j j + 1 ... b
X1 xn1(w1|1) xn1(w2|s1) ... xn1(wj|sj − 1) xn1(wj + 1|sj) ... xn1(1|sb − 1)
Y2 , 1 2, 2 ... j, j j + 1, j + 1 ... 0
X2 xn2(1) xn2(1) ... xn2(j − 1) xn2(j) ... xn2(b − 1)
Y3 0 11 ... j − 1j − 1 jj ... b − 1b − 1
Table 2.3 Кодирање и декодирање за методата со складирање во кошнички за декодирај-и-проследи
Генерирање на кодната книга: Да ја фиксираме здружената PMF p(x1x2) на вредност што ја достигнува долната граница. Да претпоставиме дека 0 ≤ R2 ≤ R. За секое j ∈ [1:b], случајно и независно генерираме 2nR2 низи xn2(sj − 1), sj − 1 ∈ [1:2nR2], секоја во согласност со ni = 1px2(x2i). За секое sj − 1 ∈ [1:2nR], случајно и условно независно генерираме 2nR низи xn1(wj|sj − 1) (Со оваа постапка за секоjа кошничка sj,  j ∈ [1:b] се генерира посебна кодна книга од 2nR елементи. На крајот финалната кодна книга содржи 2nR2 x2nR елементи.). На овој начин се дефинира случајна кодна книга
(3.73) Cj = {(xn1(wj|sj − 1), xn2(sj − 1)):wj ∈ [1:2nR], sj − 1 ∈ [1:2nR2]},  j ∈ [1:b]
и низата од кошнички:
(3.74) \mathnormalB = \mathnormal{S1, S2, ..., S2nR2}
Низата од кошнички \mathnormalB овозможува да се испрати информација до дестинацијата, со користење на случајно складирање во кошнички опишано со теоремата на Слепијан и Вулф ([9], [28]). Имено согласно оваа постапка, ги групираме пораките во 2nR2 кошнички со еднаква големина: B(s) = [(s − 1)2n(R − R2) + 1:s⋅2n(R − R2)],  s ∈ [1:2nR2]. Кодните книги и распоредот по кошнички се разоткрива на сите јазли. Кодирањето и декодираето може да се објаснат со помош на табелата 2.3↑
Кодирање: Да претпоставиме дека wj ∈ [1:2nR] е пораката што треба да се испрати во блокот j и да претпоставиме дека wj − 1 ∈ B(sj − 1). Кодерот го испраќа xn1(wj|sj − 1) од кодната книга Cj, каде по конвенција s0 = wb = 1.
Кодирање во релето: На крајот од блокот j, знаејќи го sj − 1 по приемот на y2(j), релето ја естимира пораката што ја има пратено изворот -wj̃ на начин што ја наоѓа единствената порака j за која(xn1(j|sj − 1), xn2(j − 1), yn2(j)) ∈ A(n)ϵ. Доколку j ∈ B(j), во блокот j + 1, релето ја испраќа низата xn2(j) од кодната книга Cj + 1. Во понатамошната анализа по по конвенција ќе земеме дека 0 = 1.
Декодирање во дестинацијата: На крај од блокот j + 1 дестинацијата го наоѓа единствениот индекс j таков што (xn2(j), yn3(j + 1)) ∈ A(n)ϵ кој ќе биде потребен за декодирање на пораката во наредниот блок. Ако претпоставиме дека во претходниот блок j индексот на кошничката sj − 1 бил успешно декодиран, дестинацијата ќе ја естимира единствентата порака j за која важи (x1(j|j − 1), xn2(j − 1), yn3(j)) ∈ A(n)ϵ и j ∈ B(j).
Солгласно ова претпоставуваме дека на крајот на блокот (j + 1) дестинацијата ги знае (w1, w2, ...wj) и (s1, s2, ..., sj), а релето ги знае (w1, w2, ...wj + 1) и (s1, s2, ..., sj + 1).
Анализа на веројатноста на грешка: Ја анализираме веројатноста за грешка при декодирање за пораката Wj усреднета по сите кодни книги. Да претпоставиме без да се изгуби општоста Wj = Sj − 1 = Sj = 1 и да претпоставиме j е естимација на Sj во релето. Декодерот ќе згреши доколку еден или повеќе од следниве настани се случи:
(3.75) (j − 1) = {j − 1 ≠ 1}
(3.76) E1(j − 1) = {j − 1 ≠ 1}
(3.77) E1(j) = {j ≠ 1}, 
(3.78) E2(j) = {(Xn1(1|j − 1), Xn2(j − 1), Yn3(j))A(n)ϵ}
E3(j) = {(Xn1(wj|j − 1), Xn2(j − 1), Yn3(j)) ∈ A(n)ϵ
(3.79) за некои wj ≠ 1, wj ∈ B(j)}
На тој начин веројатноста за грешка е ограничена од горе со:
P(E(j)) = P{j ≠ 1} ≤ P((j − 1)E1(j − 1)E1(j)E2(j)E3(j)) ≤ 
P((j − 1)) + P(E1(j)) + P(E1(j − 1)) + P(E2(j)c(j − 1)Ec1(j − 1)Ec1(j)) + 
(3.80)  + P(E3(j)c(j − 1)Ec1(j − 1)Ec1(j)).
Aко ги следиме сличните чекори од глава 2.2.2↑, со тоа што j − 1 се заменува со j − 1, првиот член во (3.80↑) P((j − 1)) → 0 доколку n → ∞ и R2 < I(X1;Y2|X2) − δ(ϵ). Вториот и третиот член во во(3.80↑) P(E1(j)) и P(E1(j − 1)) тежнеат кон нула доколку n → ∞ и R2 < I(X2;Y3) − δ(ϵ). Четвртиот член во (3.80↑) е ограничен на следниов начин:
P(E2(j)c(j − 1)Ec1(j − 1)Ec1(j)) = 
 = P(E2(j){j − 1 = 1}{j − 1 = 1}{j = 1}) ≤ 
(3.81)  ≤ P{(Xn1(1|1), Xn2(1), Yn3(j))A(n)ϵ|j − 1 = 1}
што заради независноста на кодните книги и законот за големи броеви, тежнее кон 0 доколку n → ∞. Последниот член во (3.80↑) е ограничен од горната страна на следниов начин:
P(E3(j)c(j − 1)Ec1(j − 1)Ec1(j)) = 
 = P(E3(j){j − 1 = 1}{j − 1 = 1}{j = 1}) ≤ 
(3.82)  ≤ P{(Xn1(1|1), Xn2(1), Yn3(j)) ∈ A(n)ϵ за некое wj ≠ 1, wj ∈ B(1)|j − 1 = 1}
кој заради независноста на кодните книги и лемата за пакување [14] тежнее кон нула доколку n → ∞ и R − R2 ≤ I(X1;Y3|X2) − δ(ϵ). Со комбинирање на границите и елиминација на R2,
(3.83) R − R2 ≤ I(X1;Y3|X2) − δ(ϵ) → R ≤ I(X1;Y3|X2) + R2 − δ(ϵ); R2 ≤ I(X2;Y3) − δ(ϵ)
се покажува дека P(j ≠ Wj) тежнее кон нула доколку n → ∞ за секое j ∈ [1:b − 1] доколку R < I(X1;Y2|X2) − δ(ϵ) т.е:
(3.84) R ≤ I(X1;Y3|X2) + I(X2;Y3) − 2δ(ϵ) = I(X1X2;Y3) − 2δ(ϵ)
Со што се докажува долната граница за декодирај-и-проследи методот.
 Се покажува дека еднаквоста во (3.72↑) се достигнува за деградиран DMRC.
(Капацитет на Dеградиран релеен канал):
Капацитетот C на деградираниот RC е [3]:
(3.85) C = maxp(x1, x2)min{I(X1, X2;Y3),  I(X1;Y2|X2)}
каде максимумот е по сите здружени дистрибуции p(x1, x2) на множестото (\mathnormalX\mathnormal1, \mathnormalX\mathnormal2).
Доказот на достигливоста на теорема 2.2.3↑ ги следи чекорите истите чекори ((3.73↑) до (3.84↑)) од доказот на теоремата (3.72↑).
Доказ на реципроцитетот на теоремата 2.2.3↑:
Доколку се тргне од CUB дадена со теорема 2.1↑ и се земе во предвид дефиницијата за деградираност (3.14↑) се добива:
(3.86) I(X1;Y3, Y2|X2) = I(X1;Y2|X2)
Доказ:
(3.87) p(y3, y2|x1, x2) = p(y2|x1, x2)⋅p(y3|y2, x2) ⇒ X1 → (X2, Y2) → Y3
I(X1;Y3, Y2|X2) = H(Y3, Y2|X2) − H(Y3, Y2|X1X2) = 
 = H(Y3, Y2|X2) − H(Y2|X1X2) − H(Y3|Y2X1X2) = 
 = H(Y3, Y2|X2) − H(Y2|X1X2) − H(Y3|Y2X2) = 
 = H(Y2|X2) + \cancelH(Y3|Y2, X2) − H(Y2|X1X2) − \cancelH(Y3|Y2, X2) = 
(3.88)  = H(Y2|X2) − H(Y2|X1X2) = I(X1;Y2|X2)
Овој резултат за капацитетот може да се илустрира во следниов пример.
(Релеeн канал на Сато)
 Да го разгледуваме деградираниот DMRC со X1 = Y2 = Y3 = {0, 1, 2}, X2 = {0, 1},  иY2 = X1 како што е прикажано на слика 2.4↓.
figure Images/Releen kanal na Sato.png
Figure 2.4 Релеен канал на Сато во кој X1,  Y2,  Y3 ∈ {0, 1, 2},  X2 ∈ {0, 1} и Y1 = X1
 Кооперативната горна граница на капацитетот на каналот RUB = maxp(x1, x2)I(X1, X2;Y) = 1.169 (види глава 8.1↓). Со директен пренос, R(0) = 1  бити/испраќање може да се постигнат со X2 = 0 односно X2 = 1. За споредба, во [3] и [32] е покажано дека ако се користи оптимална маркова релејна функција x2(y2, i − 1) ќе се добие R(1) = 1.0437, а ако се користи x2i(y2, i − 1, y2, i − 2) се добива R(2) = 1.0549. Бидејќи каналот е деградиран капацитетот е во согласност со долната граница за методата декодирај-и-проследи (теорема 2.2.3↑). Со евалуација на оваа граница се добива C = 1.1619 (види [3], [32]).

2.3 Компримирај-и-проследи релеен канал

 Во методата со декодирај-и проследи, релето ја реконструира целата порака. Доколку каналот од изворот до релето е послаб од директниот канал до дестинацијата, брзината за пренос може да се намали под вредноста за директен пренос во кој случај релето воопшто не се користи. Во методата компримирај-и-проследи (CF) релето помага во комуникацијата со испраќање на опис на претходно приемениот сигнал кон дестинацијата. Бидејќи овој опис е корелиран со примената низа, се користи Wyner-Ziv кодирање [27] за да се намали брзината потребна за пренесување на описот кон дестинацијата. Оваа метода ја достигнува следнава долна граница.
Долна граница за компримирај-и-проследи
Капацитетот на DMRC е ограничен од долнаата страна со [14]:
(3.89) C ≥ maxmin{I(X1, X2;Y3) − I(Y2;2|X1X2Y3), I(X1;2, Y3|X2)}
каде максимумот е по сите условни веројатности p(x1)p(x2)p(2|x2y2) со |Ŷ2| ≤ | X2|| Y2| + 1.
Во споредба со CUB (теорема 2.1↑), првиот член во минимумот ja претставува границата за канал со повеќекратен пристап без кохерентна комуникација (X1 и X2 се независни) со дополнителен член кој се одзема, a второт член личи на границата за дифузен канал но наместо Y2 се користи описот 2.
Доказ: Повторно се користи BMC за да се пренесат (b − 1) i.i.d. пораки во b блокови. На крај од блокот j, релето избира реконструирана низа n2(j) условена по низата xn2(j) (која е позната и на релето и на дестинацијата). Бидејќи дестинацијата има странична информација yn3(j) за 2(j), ќе користиме складирање по кошнички како во Wyner-Ziv кодирањето за да ја намалиме брзината неопходна за испраќање на n2(j). Индексот на кошничката се испраќа кон дестинацијата во блокот j + 1 со испраќање на низата xn2(j + 1). На крајот од блокот j + 1, дестинацијата го декодира xn2(j + 1). Таа потоа го користи yn3(j) и xn2(j) за да ги декодира истовремено n2(j) и xn1(j).
Блок 1 2 3 ... j ... b
X1 xn1(w1) xn1(w2) xn1(w3) ... xn1(wj) ... xn1(1)
Y2 2(k1|1), s1 2(k2|s1), s2 n2(k3|s2), s3 ... n2(kj|sj − 1), sj ... 0
X2 xn2(1) xn2(s1) xn2(s2) ... xn2(sj − 1) ... xn2(sb − 1)
Y3 0 11 22 ... j − 1j − 1 ... b − 1b − 1
1 2 j − 1 b − 1
Table 2.4 Кодирање и декодирање за компримирај-и-проследи
Генерирање на кодна книга: Се фиксира условната веројатност p(x1)p(x2)p(2|y2, x2) на вредност што ја достигнува долната граница. Случајно се генерираат независни кодни книги за секој блок. За j ∈ [1:b], случајно и независно се генерираат 2nR низи xn1(wj), wj ∈ [1:2nR] секоја во согласност со ni = 1pX1(x1i). Случајно и независно се генерираат 2nR2 низи xn2(sj − 1), sj − 1 ∈ [1:2nR2], секоја во согласност со ni = 1pX2(x2i). За секое sj − 1 ∈ [1:2nR2] , случајно и условно независно се генерираат 2n2 низи n2(kj|sj − 1),  kj ∈ [1:2n2], секоја во согласност со ni = 1p2|X2(2i|x2i(si − 1)). На овој начин се дефинира кодната книга:
(3.90) Cj = {(xn1(wj), xn2(sj − 1), n2(kj|sj − 1)):wj ∈ [1:2nR], sj − 1 ∈ [1:2nR2], kj ∈ [1:2n2]}
Се партиционира множеството [1:2n2] во 2nR2 кошнички со еднаква големина B(sj),  sj ∈ [1:2nR2]. Кодните книги и распоредот по кошнички се разоткриваат на сите јазли.
Кодирање во изворот: Да земеме дека wj ∈ [1:2nR] е пораката која треба да се испрати во блокот j. Кодерот го испраќа xn1(wj) од кодната книга Cj, каде wb = 1 по конвенција.
Кодирање во релето: По конвенција, да земеме дека s0 = 1. На крај од блокот j, релето го наоѓа индекстот kj така што (y2(j), 2(kj|sj − 1), xn2(sj − 1)) ∈ A(n)ϵ. Ако има повеќе од еден таков индекс, тоа праќа еден од нив по унивормна случајна распределба. Доколку не постои таков индекс, тоа избира индекс случајно по униформна распределба од множеството[1:2n2]. Во блокот j + 1 релето го испраќа xn2(sj), каде sj индексот на кошничката за kj.
Декодирање во дестинацијата: Да земеме дека ϵ > ϵ. На крај од блокот j + 1, доколку (xn2(j), yn3(j + 1)) ∈ A(n)ϵ дестинацијата успешно го реконструира единствениот индекс j кој ќе се користи за декодирање на пораката во наредниот блок . Потоа, таа ја наоѓа единствената порака j така што (xn1(j), xn2(j − 1), n2(j|j − 1), yn3(j)) ∈ A(n)ϵ и j ∈ B(j).
Анализа на веројатноста за грешка: Ја анализираме веројатноста за грешка при декодирање за пораката Wj усреднета по сите кодни книги. Без да се загуби општоста претпоставуваме дека Wj = 1 и декаSj − 1,  Sj,  Kj ги oзначуваат индексите избрани од релето во блокот j. Декодерот ќе згреши само доколку се случи еден или повеќе од следните настани:
(3.91) (j) = {(Xn2(j − 1), n2(kj|j − 1), Yn2(j))A(n)ϵза сите kj ∈ [1:2nR2̃]}
(3.92) E1(j − 1) = {j − 1 ≠ Sj − 1}
(3.93) E1(j) = {j ≠ Sj}, 
(3.94) E2(j) = {(Xn1(1),  Xn2(j − 1), n2(Kj|j − 1),  Yn3(j))A(n)ϵ}
(3.95) E3(j) = {(Xn1(wj), Xn2(j − 1), n2(Kj|j − 1)Yn3(j)) ∈ A(n)ϵ за некое wj ≠ 1}
E4(j) = {(Xn1(wj), Xn2(j − 1), n2(j|j − 1), Yn3(j)) ∈ A(n)ϵ
(3.96) за некое j ∈ B(j),  j ≠ Kj,  wj ≠ 1}
На тој начин веројатноста за грешка е ограничена од горе со:
P(E(j)) = P{j ≠ 1} ≤ P((j)) + P(E1(j − 1)) + P(E1(j)) + 
(3.97)  + P(E2(j)c(j)Ec1(j − 1)) + E3(j) + P(E4(j)Ec1(j − 1)Ec1(j)).
Од независноста на кодните книги и од лемата за покривање [14], првиот член P((j)) тежнее кон 0 доколку n → ∞ и 2 > I(2;Y2|X2) + δ(ϵ). Ако се следи анализата за веројатноста за грешка во каскадниот релеен канал, следните два члена P(E1(j − 1)) = P{j − 1 ≠ Sj − 1} и P(E1(j) = P{j ≠ Sj}) тежнеат кон нула доколку n → ∞ и R2 < I(X2;Y3) − δ(ϵ). Четвртиот член е ограничен со:
P(E2(j)c(j)Ec1(j − 1)) ≤ 
(3.98)  ≤ P{(Xn1(1), Xn2(Sj − 1), n2(Kj|Sj − 1), Yn3(j) ≠ A(n)ϵ|c(j))}
кој, од независноста на кодните книги и лемата за условна типичност [14], тежнеат кон нука доколку n → ∞. Од истата независност и од лемата за пакување [14], P(E3(j)) тежнее кон нула доколку n → ∞ и R ≤ I(X1;X2, Y2, Y3) + δ(ϵ) = I(X1;2, Y3|X2) + δ(ϵ). Со следење на истите чекори од [14] последниот член е ограничен од горе со:
P(E4(j)Ec1(j − 1)Ec1(j)) ≤ 
 ≤ P{Xn1(wj), Xn2(Sj − 1), n2(j|Sj − 1), Yn3(j) ∈ A(n)ϵ
за некое j ∈ B(j),  j ≠ Kj,  wj ≠ 1} ≤ 
P{Xn1(wj), Xn2(Sj − 1), n2(j|Sj − 1), Yn3(j) ∈ A(n)ϵ
(3.99) за некое j ∈ B(1),  wj ≠ 1}
кој, од независноста на кодните книги, лемата за здружена типичност [14] и границата за унија на настани, тежнее кон 0 n → ∞ доколку R + 2 − R2 < I(X1;Y3|X2) + I(2;X1, Y3|X2) − δ(ϵ). Со комбинирање на границите и елиминирање на R2 и 2, се покажува дека P(j ≠ Wj) тежнее кон нула доколку n → ∞ за секое j ∈ [1:b − 1] доколку:
R ≤ R2 − 2 + I(X1;Y3|X2) + I(2;X1, Y3|X2) − δ(ϵ) ≤ 
 ≤ I(X2;Y3) − δ(ϵ) − I(2;Y2|X2) − δ(ϵ) + I(X1;Y3|X2) + I(2;X1, Y3|X2) − δ(ϵ) = 
 = I(X2;Y3) − I(2;Y2|X2) + I(X1;Y3|X2) + I(2;X1, Y3|X2) − 2δ(ϵ) − δ(ϵ) = 
(3.100)  = I(X1X2;Y3) − I(2;Y2|X2) + I(2;X1, Y3|X2) + δ(ϵ)
Со оглед на тоа што 2 → (X2Y2) → (X1Y3) следи:
(3.101) I(2;X1Y2Y3|X2) = H(2|X2) − H(2|X2Y2) = I(2;Y2|X2)
Ако се замени (3.101↑) во (3.100↑) ќе се добие:
(3.102) R ≤ I(X1, X2;Y3) + I(2;X1Y3|X2) − I(2;X1Y2Y3|X2) − δ(ϵ)
Вторите два члена од (3.102↑) можат да се сведат на:
I(2;X1Y3|X2) − I(2;X1Y2Y3|X2) = 
(3.103)  = \cancelI(2;X1Y3|X2) − \cancelI(2;X1Y3|X2) − I(2;Y2|X1X2Y3) =  − I(2;Y2|X1X2Y3)
Ако (3.103↑) се замени во (3.102↑) се добива:
(3.104) R ≤ I(X1X2;Y3) − I(2;Y2|X1X2Y3) − δ(ϵ)
Со ова се комплетира доказот на долната граница на компримирај-и-проследи.
Постојат неколку други кодни методи кои ја достигнуваат долната граница за компримирај-и-проследи, на пример во [14] е опишана методата за бучно мрежно кодирање (анг. NNC- Noisy Network Coding).
Релеен канал со ортогонални приемни компоненти:
 DMRC со ортогонални приемни компоненти е прикажан на слика 2.5↓
figure Images/Releen kanal so normalni priemni komponenti.png
Figure 2.5 Релеен канал со ортогонални приемни компоненти
Кај овој модел Y3 = (Y3’, Y3’’) и p(y2, y3|x1x2) = p(y3’, y2|x1)p(y3’’|x2), со што се раздвојуваат дифузниот канал од изворот до релето и дестинацијата од директниот канал од релето до дестинацијата. Капацитетот на DMRC со ортогонални компоненти не е познат во општа форма. CUB во теорема 2.1↑ се сведува на:
(3.105) C ≤ maxp(x1)p(x2)min{I(X1;Y3) + I(X2;Y3’’), I(X1;Y2, Y3)}
Доказ: Ако
(3.106) p(y2, y3’, y3’’|x1x2) = p(y3’’|x1x2y2y3)p(y3’, y2|x1x2)
се спореди со условот:
(3.107) p(y2, y3|x1x2) = p(y2, y3’, y3’’|x1x2) = p(y3’’|x2)p(y3’, y2|x1)
може да се заклучи дека y3’’ зависи само од x2 т.е. не зависи од x1, y2, y3 (y2 не содржи повеќе информација за y3’’ од онаа што веќе е содржана во x2), и y3’, y2 зависат само од x1 т.е. не зависи од x2 и y3’’. Првиот член од изразот за минимизација во (3.105↑) се добива од CUB (теорема 2.1↑) на следниов начин:
(3.108) I(X1X2;Y3) = I(X1X2;Y3’, Y3’’) = I(X1X2;Y3) + I(X1X2;Y3’’|Y3) = 
(3.109)  = H(Y3) − H(Y3’|X1X2) + H(Y3’’|Y3) − H(Y3’’|X1X2Y3) = 
(3.110)  = H(Y3) − H(Y3’|X1) + H(Y3’’) − H(Y3’’|X2) = I(X1;Y3) + I(X2;Y3’’)
Вториот член од изразот за минимизација во (3.105↑) се добива oд CUB на следниов начин:
(3.111) I(X1;Y2Y3Y3’’|X2) = I(X1;Y2Y3’|X2) + I(X1;Y3’’|Y2, Y3’, X2) = 
(3.112)  = H(Y2, Y3’|X2) − H(Y2, Y3’|X2X1) + H(Y3’’|Y2Y3X2) − H(Y3’’|Y2Y3X1X2) = 
(3.113)  = H(Y2, Y3) − H(Y2, Y3’|X1) + \cancelH(Y3’’|X2) − \cancelH(Y3’’|X2) = I(X1;Y2Y3)
Да земеме дека C0 = maxp(x2)I(X2, Y3’’) го означува капацитетот на каналот од релето до дестинацијата. Тогаш CUB за овој модел на RC може да се изрази како:
(3.114) C ≤ maxp(x1)min{I(X1;Y3) + C0, I(X1;Y2, Y3)}
За споредба, долната граница за компримирај-и-проследи (види теорема 2.3↑) за овој RC се сведува на:
(3.115) C ≥ maxp(x1)p(2|y2)min{I(X1;Y3) + C0 − I(Y2;2|X1Y3), I(X1;2, Y3)}
Доказ на изразот (3.115↑):
Вториот член од изразот за минимизација во (3.89↑) се сведува на:
(3.116) I(X1;2, Y3|X2) = I(X1;2, Y3Y3’’|X2) = I(X1;2, Y3’|X2) + I(X1;Y3’’|X22, Y3) = 
(3.117)  = I(X1;2, Y3’|X2) + H(Y3’’|X22, Y3) − H(Y3’’|X1X22, Y3) = 
(3.118)  = I(X1;2, Y3’|X2) + \cancelH(Y3’’|X22, Y3) − \cancelH(Y3’’|X22, Y3) = 
(3.119)  = I(X1;2, Y3’|X2) = H(2Y3’|X2) − H(2, Y3’|X2X1) = 
(3.120)  = H(2Y3) − H(2, Y3’|X1) = I(X1;2Y3)
Првата здружена информација од разликата од првиот член од изразот за минимизација во (3.89↑) се сведува на:
(3.121) I(X1X2;Y3) = I(X1;Y3) + I(X2;Y3’’) = I(X1;Y3) + C0
Втората здружена информација од разликата од првиот член од изразот за минимизација во (3.89↑) се сведува на:
(3.122) I(Y2;2|X1X2Y3) = I(Y2Y3;2|X1X2) − I(Y3;2|X1X2) = 
(3.123)  = H(Y2Y3|X1X2) − H(Y2Y3|2X1X2) − I(Y3Y3’’;2|X1X2) = 
 = H(Y2Y3Y3’’|X1X2) − H(Y2Y3Y3’’|2X1X2) − 
(3.124)  − I(Y3’;2|X1X2) − I(Y3’’;2|X1X2Y3) = 
(3.125)  = H(Y2Y3’|X1X2) + H(Y3’’|X1X2Y2Y3) − H(Y2Y3’|2X1X2) − H(Y3’’|2X1X2Y2Y3) − 
(3.126)  − H(Y3’|X1X2) + H(Y3’|2X1X2) − H(Y3’’|X1X2Y3) + H(Y3’’|2X1X2Y3) = 
(3.127)  = H(Y2Y3’|X1) + \cancelH(Y3’’|X2) − H(Y2Y3’|2X1) − \cancelH(Y3’’|2X2) − 
(3.128)  − H(Y3’|X1) + H(Y3’|2X1) − \cancelH(Y3’’|X2) + \cancelH(Y3’’|2X2) = 
(3.129)  = I(2;Y2Y3’|X1) − I(2;Y3’|X1) = 
(3.130)  = \cancelI(2;Y3’|X1) + I(2;Y2|X1Y3) − \cancelI(2;Y3’|X1) = I(2;Y2|X1Y3)
Овие две граници се поклопуваат за детерминистички RC со ортогонални приемни компоненти каде Y2 е функција од (X1, Y3). Доказот следи со земање дека 2 = Y2 во долната граница за компримирај-и-проследи (3.115↑) и со користење на фактот дека H(Y2|X1Y3) = 0. Треба да се забележи дека капацитетот зависи од p(y3’’|x2) само преку C0.
Следниов пример покажува дека CUB не е достиглива во општ случај.
Релеен канал со сума по модул 2.
figure Images/Releen kanal so suma po modul 2.png
Figure 2.6 Релеен канал со сума по модул 2
Да го разгледуваме DMRC со ортогонални приемни компоненти прикажан на слика 2.6↑, каде:
(3.131) Y3’ = X1Z3,  Y2 = Z2Z3
и Z2 ~ Bern(p) [B]  [B] Каде Bern(p) е Бернулиева PMF (види 8.2↓). , Z3 ~ Bern(1 ⁄ 2) се независни една од друга и од X1.
За C0 ∈ [0, 1], капацитетот на овој RC е [14]:
(3.132) C = 1 − H(p*H − 1(1 − C0))
каде H − 1(v) ∈ [0, 1 ⁄ 2] е инверзна функција од бинарната ентрописка функција.
Доказ: Доказот за достигливост следи ако се земе 2 = Y2V каде V ~ Bern(α) е случајна променлива независна од (X1, Z2, Z3) и α = H − 1(1 − C0), во долната граница за CF (3.115↑) (види глава 8.2↓). За доказ на реципроцитетот се зема во предвид:
(3.133) nR ≤ I(Xn1;Y3n, Y3’’n) + nϵn
Со оглед на тоа што Xn1 не зависи од (Zn2, Zn3, Xn2, Y3’’n) за здружената информација во (3.133↑) се добива:
(3.134) I(Xn1;Y3n, Y3’’n) = \overset0I(Xn1;Y3’’n) + I(Xn1;Y3’|Y3’’n) = I(Xn1;Y3’|Y3’’n)
Ако (3.134↑) се замени во (3.133↑) се добива:
(3.135) nR ≤ I(Xn1;Y3n|Y3’’n) + nϵn
За здружената информација во (3.135↑) се добива:
I(Xn1;Y3n|Y3’’n) = H(Y3n|Y3’’n) − H(Y3n|Y3’’n, Xn1) = 
 = ni = 1H(Y3i|Y3’’n, Yi − 13) − H(Y3n|Y3’’n, Xn1)\overset(a) ≤ ni = 1H(Y3i|Yi − 13) − H(Y3n|Y3’’n, Xn1) ≤ 
(3.136) \overset(b) ≤ ni = 1H(Y3i) − H(Y3n|Y3’’n, Xn1) ≤ n − H(Y3n|Y3’’n, Xn1)
Каде (а) следи од фактот дека условеноста ја намалува ентропијата [9], а (b) од претпоставката дека се работи за DMRC. Ако (3.136↑) и (3.131↑) се заменат во (3.135↑) се добива:
nR ≤ n − H(Y3n|Xn1, Y3’’n) + nϵn = n − H(Xn1 + Zn3|Y3’’n, Xn1) + nϵn = 
(3.137)  = n − H(Zn3|Y3’’n) + nϵn = n − H(Zn3|Y3’’n) + nϵn
Доколку во (3.137↑) се употреби векторската форма на Лемата на Г-ѓа Гереберс [14] се добива:
(3.138) nR ≤ n − nH(p*H − 1(H(Yn2|Y3’’n) ⁄ n)) + nϵn, 
Ако се има во предвид дека Y2 → X2 → Y’’3 и се употреби нееднаквоста за процесирање на податоци [9], аргументот во ентрописката функција во (3.138↑) може да се сведе на:
nC0 ≥ I(Xn2;Y’’n3) ≥ I(Yn2, Y3’’n) = H(Yn2) − H(Yn2|Y3’’n) = n − H(Yn2|Y3’’n) ⇒ 
(3.139)  ⇒ (H(Yn2|Y3’’n))/(n) ≥ 1 − C0
Ако се замени (3.139↑) во (3.138↑) се добива:
(3.140) R ≤ 1 − H(p*H − 1(1 − C0)) + ϵn
Треба да се забележи дека CUB за овој канал (3.114↑) се сведува на min{1 − H(p), C0} (види глава 8.3↓), што е строго поголема вредност од капацитетот (3.132↑) доколку p ≠ 1 ⁄ 2 и 1 − H(p) ≤ C0 [C]  [C] Лесно се покажува дека за било кое α ∈ [0, 1] H(αp) ≥ H(p), а оттука следи дека 1 − H(p*H − 1(1 − C0)) ≤ 1 − H(p). Еднаквоста се достигнува за α = 0 и α = 1. Значи за овој канал најдовме поточна горна граница која е помала од CUB, со што се докажува дека CUB за одредени RC не е многу точна.. Оттука следи дека во општ случај CUB не е многу прецизна.
Долната граница за методата компримирај-и-проследи може еквивалентно да се карактеризира како:
(3.141) C ≥ max{I(X1;2, Y3|X2)}
каде максимумот е по сите условни веројатности p(x1)p(x2)p(2|x2y2) така што:
(3.142) I(X2;Y3) ≥ I(Y2;2|X2Y3)
Еквивалентноста на теорема 2.3↑ со карактеризацијата во забелешката 2.3↑ е докажана во [14].

2.4 Гаусов релеен канал

2.4.1 Горна пресечна граница и капацитет за DF, DT и каскаден Гаусов RC

 Да го разгледуваме Гаусовиот RC прикажан на слика 2.7↓, кој претставува едноставен модел за безжични точка-точка комуникации преку реле. Излезите на каналот кои кореспондираат на на влезовите X1 и X2 се:
Y2 = g21X1 + Z2
Y3 = g31X1 + g32X2 + Z3, 
каде g21, g31,  и g32 се каналните коефициенти, и Z2 ~  N(0, 1) и Z3 ~  N(0, 1) се независните компоненти на шумот. Да претпоставиме дека P е ограничувањето на средната моќност за X1 и X2. Бидејќи релето може да го испраќа X2 и прима Y2 во исто време, овој модел понекогаш се нарекува дуплексен Гаусов RC, за разлика од полу-дуплексниот модел кој ќе биде разгледуван во глава 2.4.3↓.
figure Images/Gausov Releen Kanal.png
Figure 2.7 Гаусов Релеен Канал
 Односот сигнал-шум за директниот канал ќе го обележиме со γ31 = g231P, односот сигнал-шум на каналот од изворот до дестинацијата со γ21 = g221P, и односот сигнал-шум од релето до дестинацијата со γ32 = g232P. Треба да се забележи дека во овој модел, релејниот канал не е деградиран и капацитетот не е познат за произволен избор на γ21, γ31, γ32 > 0.
За ваквиот канал ќе ги пресметаме горните и долните граници за капацитетот кои беа анализирани во претходните глави.
Горна пресечна граница (CUB): Доказот на CUB дадена во теоремата 2.1↑ се однесува на произволна азбука од кодни знаци. Со отпимизација на границата за дадено ограничување на моќност, се покажува дека се постигнува доколку (X1, X2) ја следат здружена Гаусова функција на густина на веројатност [9]:
(3.160) C ≤ max0 ≤ ρ ≤ 1min{C(γ31 + γ32 + 2ρ(γ31γ32)),  C((1 − ρ2)(γ31 + γ21))} = 
(3.161)  =  C(((γ21γ32) + (γ31(γ31 + γ21 − γ32)))2 ⁄ (γ31 + γ21))  доколку γ21 ≥ γ32       C(γ31 + γ21)  во спротивно
каде ρ = E(X1X2) ⁄ (E(X21)E(X22)). Доказот на изразот (3.160↑) е даден во глава 3.163↓ и [14].
Доколку се изврши минимизацијата во изразот (3.160↑) ќе се добие изразот (3.161↑). Се работи за две непрекинати и конкавни функции кои се сечат во една пресечна точка. До пресечната точка првиот член од парот е помал, а после пресечната точка помал е вториот член. Имајќи го тоа во предвид следи дека пресечната точка всушност претставува максимум на резултантаната функција која е минимум од двете функции. Пресечната точка се наоѓа доколку се реши равенството (3.162↓)
(3.162) 1 + γ31 + γ32 + 2ρ(γ31γ32) − 1 − (1 − ρ2)(γ31 + γ21) = 0
Пресечната точка е:
(3.163) ρ0 = ( − (γ31γ32) + (γ31γ21 − γ21γ32 + γ221))/(γ31 + γ21).
Доколку пресечната точка (3.163↑) се замени во, на пример, првиот член од изразот за минимизација во (3.160↑) ќе се добие
f(ρ0) = 1 + γ31 + γ32 + 2ρ0(γ31γ32) = 
(3.164)  = 1 + γ31 + γ32 + 2 (( − (γ31γ32) + (γ21γ31 − γ32γ21 + γ221))(γ31γ32))/(γ31 + γ21) = 
(3.165)  = 1 + γ31 + γ32 + 2⋅\overset(e)(( − (γ31γ32) + (γ21(γ31 − γ32 + γ21)))(γ31γ32))/(γ31 + γ21) = 
(3.166)  = 1 + ((γ31 + γ32)(γ31 + γ21) + 2⋅( − (γ31γ32) + (γ21(γ31 − γ32 + γ21)))(γ31γ32))/(γ31 + γ21) = 
(3.167)  = 1 + (γ231 + γ21γ31 + γ21γ32 − γ31γ32 + 2⋅(γ21γ31γ32(γ31 − γ32 + γ21)))/(γ31 + γ21) = 
(3.168)  = 1 + (((γ21γ32) + (γ31(γ31 + γ21 − γ32)))2)/(γ31 + γ21)
Со оглед на тоа што бараме горна граница, а изразот (е) може да биде поголем или помал од нула во зависност од γ21, γ31 и γ32 може да се разликуваат два случаи:
- Доколку γ21 ≥ γ32 изразот (е) е поголем од нула и ја дефинира горната граница:
(3.169) ( − (γ31γ32) + (γ21(γ31 − γ32 + γ21)))(γ31γ32) = 
(3.170)  = ( − γ31γ32 + (γ21γ31γ32(γ31 + γ21 − γ32))) ≥ 
(3.171)  ≥ ( − γ31γ32 + (γ21γ31γ32(γ31 + γ21 − γ21))) = 
(3.172)  = ( − γ31γ32 + γ31(γ21γ32)) ≥ ( − γ31γ32 + γ31(γ32γ32)) = ( − γ31γ32 + γ31γ32) = 0
- Доколку γ21 < γ32 изразот (e) е помал од нула и не влијае врз горната граница
(3.173) ( − (γ31γ32) + (γ21(γ31 − γ32 + γ21)))(γ31γ32) = ( − γ31γ32 + (γ21γ31γ32(γ31 + γ21 − γ32)))
(3.174) <( − γ31γ32 + (γ21γ31γ32(γ31 + γ21 − γ21))) = 
(3.175) ( − γ31γ32 + γ31(γ21γ32)) < ( − γ31γ32 + γ31(γ32γ32)) = ( − γ31γ32 + γ31γ32) = 0
Со ова се докажува изразот (3.162↑).
 Ако се анализира изразот (3.161↑), може да се забележи дека со зголемување на ρ се зголемува првиот член од парот за минимизацијата т.е. I(X1, X2;Y) со помагање на преносот во пресекот кој одговара на канал со повеќекратен пристап, но тоа го ограничува преносот на информација во пресекот кој одговара на дифузниот канал. Со други зборови, со воведувањето на корелација помеѓу сигналот на влезот од каналот и сигналот на излезот од релето ја зголемуваваме брзината за пренесување на информации во пресекот од релејниот канал кој одговара на каналот со повеќекратен пристап. Сепак тоа има и свој недостаток, т.е. тоа подразбира помала брзина на пренос на информациите во пресекот од релејниот канал кој одговара на дифузниот канал. Тоа може да се интерпретира како релето да има одредено предзнаење за дел од испраќаната порака од изворот што се должи на корелацијата на X1 и X2 .
Долна граница на капацитет за директен пренос: За директен пренос долната граница во (3.51↑) е:
(3.176) C ≥ C(γ31)
Доказ:
(3.177) C ≥ maxp(x1), x2I(X1;Y3|X2 = x2)
(3.178) Y3 = g31X1 + g21X2 + Z3
(3.179) I(X1;Y3|X2 = x2) = h(Y3|X2 = x2) − h(Y3|X1X2 = x2) = 
(3.180)  = h(g31X1 + Z3) − h(Z3) ≤ 
(3.181)  ≤ (1)/(2)log2(2πe)(\oversetγ31g231P + 1) − (1)/(2)log(2πe) = (1)/(2)log2(γ31 + 1) = C(γ31)
Долна граница на капацитет за каскаден релеен канал: Да ја разгледуваме долната граница на каскадниот релеен канал дадена во (3.52↑) за дадено ограничување на моќност. Во општ случај не се познати функциите на густина на веројатност на влезните симболи X1 и X2 кои ја оптимизираат горната граница. Доколку се претпостави дека X1 и X2 ја следат Гаусовата PDF, се добива [14]:
(3.182) C ≥ min{C(γ21), C(γ32 ⁄ (γ31 + 1))}
Доказ:
(3.183) C ≥ maxp(x1)p(x2)min{I(X2;Y3), I(X1;Y2|X2)}
(3.184) Y3 = g32X2 + g31X1 + Z3; Y2 = g21X1 + Z2; γ32 = g32P
I(X2;Y3) = h(Y3) − h(Y3|X2) = (1)/(2)log(2πe)(g232P + g231P + 1) − (1)/(2)log(2πe)(g231P + 1) = 
 = (1)/(2)log((g232P + g231P + 1))/((g231P + 1)) = (1)/(2)log((γ32 + γ31 + 1))/((γ31 + 1)) = 
(3.185)  = (1)/(2)log1 + (γ32)/(γ31 + 1) = C(γ32)/(γ31 + 1)
(3.186) I(X1;Y2|X2) = h(Y2|X2) − h(Y2|X1X2) = 
(3.187)  = (1)/(2)log(g221E[X21] + 1) = (1)/(2)log(g221P + 1) = (1)/(2)log(γ21 + 1) = C(γ21)
Долна граница за методата декодирај-и-проследи: Со максимизација на долната граница за декодирај-и-проследи во теоремата 2.2.3↑ за дадено ограничување на моќност се добива [14]:
(3.188) C ≥ max0 ≤ ρ ≤ 1min{C(γ31 + γ32 + 2ρ(γ31γ32)), C((1 − ρ2)γ21)} = 
(3.189)  =  C(((γ31(γ21 − γ32)) + (γ32(γ21 − γ31)))2 ⁄ γ21) доколкуγ21 ≥ γ31 + γ32       C(γ21) во спротивно
Доказ:
(3.190) C ≥ maxp(x1x2)min{I(X1X2;Y3), I(X1;Y2|X2)}
(3.191) Y3 = g31X1 + g32X2 + Z3,  Y2 = g21X1 + Z2
(3.192) I(X1;Y2|X2) = h(Y2|X2) − h(Y2|X1X2) ≤ 
(3.193)  ≤ (1)/(2)log(2πe)E[Var(Y2|X2)] + (1)/(2)log(2πe) = 
(3.194)  = (1)/(2)log(2πe)(E[Var(g21X1|X2)] + 1) − (1)/(2)log(2πe) = (1)/(2)log(E[Var(g21X1|X2)] + 1)
E[Var(g21X1|X2)] = Ex2[Ex1(g221X21|X2)] − g221Ex2[E2x1[X1|X2]] ≤ 
(3.195)  ≤ g221Ex1(X21) − (g221E2x1x2[X1X2])/(E[X22]) = 
(3.196)  = g221Ex1(X21) − (g221E[X21]E2x1x2[X1X2])/(E[X22]E[X21]) = γ21 − γ21ρ2 = γ21(1 − ρ2)
Ако се замени (3.196↑) во (3.194↑) се добива за вторито член од парот за минимизација се добива:
(3.197) I(X1;Y2|X2) = (1)/(2)log(2πe)(1 + γ21(1 − ρ2)) = C(γ21(1 − ρ2))
Првиот член од (3.188↑) се добива со користење на (9.30↓)-(9.32↓) (види додаток 8.4↓).
Доколку се изврши минимизацијата во изразот (3.188↑) се добива изразот (3.189↑).
Доказ: Доказот ги следи чекорите (3.162↑)- (3.175↑) од анализата на CUB за Гаусов релеен канал. Се бара пресечната точка на двете криви од парот за минимизација во која се достигнува максимум.
(3.198) γ31 + γ32 + 2ρ(γ31γ32) − (1 − ρ2)γ21 = 0
(3.199) ρ0 =  − ((γ31γ32) − (γ31γ32 − γ31γ21 − γ21γ32 + γ221))/(γ21)
Доколку пресечната точка (3.199↑) се замени во на пример првиот член од изразот на минимизација (3.188↑) ќе се добие:
(3.200) f(ρ0) = 1 + γ31 + γ32 − 2⋅(((γ31γ32) + (γ31γ32 − γ31γ21 − γ21γ32 + γ221))(γ31γ32))/(γ21) = 
(3.201)  = 1 + γ31 + γ32 − (2⋅(γ31γ32 + (γ31γ32(γ31γ32 − γ31γ21 − γ21γ32 + γ221))))/(γ21) = 
(3.202)  = (γ21 + γ31γ21 + γ32γ21 − 2⋅γ31γ32 + 2⋅(γ31γ32(γ31γ32 − γ31γ21 − γ21γ32 + γ221)))/(γ21)
γ31γ32(γ31γ32 − γ31γ21 − γ21γ32 + γ221) = γ31γ32(γ31(γ32 − γ21) + γ21(γ21 − γ32)) = 
(3.203)  = γ31γ32( − γ31(γ21 − γ32) + γ21(γ21 − γ32)) = γ31γ32(γ21 − γ31)(γ21 − γ32).
Доколку се замени (3.203↑)во (3.202↑) се добива:
(3.204) f(ρ0) = 1 + (γ31γ21 + γ32γ21 − 2⋅γ31γ32 + 2⋅(γ31γ32(γ21 − γ31)(γ21 − γ32)))/(γ21)
Броителот во (3.204↑) може да се прикаже во следнава форма:
((γ31(γ21 − γ32)) + (γ32(γ21 − γ31)))2 = 
 = γ31(γ21 − γ32) + γ32(γ21 − γ31) + 2(γ31(γ21 − γ32)γ32(γ21 − γ31)) = 
\strikeout off\uuline off\uwave off
(3.205)  = γ31γ21 + γ32γ21 − 2⋅γ32γ31 + 2(γ31γ32(γ21 − γ32)(γ21 − γ31)).
\uuline default\uwave defaultКонечно, со замена на (3.205↑) во (3.204↑) се добива изразот 3.189↑. Треба да се забележи дека кога γ21 ≤ γ31, брзината на пренесување на податоците за декодирај-и-проследи станува помала од онаа за директен пренос C(γ31).
Анализата на капацитетот за деградиран гаусов канал кој користи DF постапка за процесирање на податоците во релето е даден во глава 8.5↓.
Долна граница за некохерентен декодирај-и-проследи канал: Бидејќи имплементацијата на кохерентни комуникации е тешка во бежичните системи, може да се користи некохерентниот декодрирај-и-проследи канал, каде X1 и X2 се независни. Во тој случај долната граница е [14]:
(3.206) C ≥ min{C(γ31 + γ32), C(γ21)}
Оваа метода го користи истиот начин за генерирање на кодната книга и чекорите за кодирање како за каскадниот релеен канал, но постигнува поголема брзина на пренесување заради тоа што врши истовремено декодирање.
(3.207) Y3 = g31X1 + g32X2 + Z3,  Y2 = g21X1 + Z2,  γ31 = g31P = g31E(X21)
(3.208) I(X1, X2;Y3) = h(Y3) − h(Y3|X1X2) = h(Y3) − (1)/(2)log(2πe) ≤ (1)/(2)log(E(Y23))
(3.209)  ≤ (1)/(2)log(1 + g231E[X21] + g232E[X22] + 2g31g32E[X1X2])
(3.210)  ≤ (1)/(2)⋅log(1 + γ31 + γ32 + 2ρ\cancelto0E(X1)\cancelto0E(X2)) = (1)/(2)⋅log(1 + γ31 + γ32) = C(γ31 + γ32)
(3.211) I(X1;Y2|X2) = h(Y2|X2) − h(Y2|X1X2) = 
(3.212)  = h(g21X1 + Z2|X2) − h(g21X1 + Z2|X1, X2) = 
(3.213)  = (1)/(2)log(2πe)(g221P + 1) − (1)/(2)log(2πe) = (1)/(2)log(1 + γ21) = C(γ21)

2.4.2 Гаусов канал со компримирај-и-проследи

 Условната веројатност F(x1)F(x2)F(2|y2, x2) која ја достигнува долната граница на компримирај-и-проследи во теоремата 2.3↑ не е позната во општа форма за Гаусов RC. Да земеме дека X1 ~  N(0, P), X2 ~ N(0, P), и Z ~ N(0, N) се здружено независни и 2 = Y2 + Z (види слика 2.8↓). Со замена во долната граница од компримирај-и-проследи (теорема 2.3↑) и оптимизација по N, се добива долната граница [14]:
(3.214) C ≥ Cγ31 + (γ21γ32)/(γ31 + γ21 + γ32 + 1)
figure Images/CF Releen Kanal.png
Figure 2.8 Компримирај-и-проследи за Гаусов релеен канал
Доказ: Имајќи во предвид дека X1 ~  N(0, P), X2 ~ N(0, P), и Z ~ N(0, N) се здружено независни и2 = Y2 + Z:
(3.215) Y3 = g31X1 + g32X2 + Z3 Y2 = g21X1 + Z2 Y2̂ = Y2 + Z = g21X1 + Z2 + Z
Доколку (3.215↑) се замени во (3.89↑) за изразите од разликата во првиот член од минимизацијата се добива:
I(X1, X2;Y3) = h(Y3) − h(Y3|X1X2) ≤ (1)/(2)log(2πe)(g231P + g232P + 1) − (1)/(2)log(2πe) = 
(3.216)  = (1)/(2)log(1 + γ31 + γ32) = C(γ31 + γ32)
I(Y2;2|X1X2Y3) = h(2|X1X2Y3) − h(2|X1X2Y3Y2) = 
 = h(Y2 + Z|X1X2Y3) − h(Y2 + Z|X1X2Y3Y2) = 
 = h(g21X1 + Z2 + Z|X1X2Y3) − (1)/(2)log(2πe)(N) = 
(3.217)  = (1)/(2)log(2πe)(N + 1) − (1)/(2)log(2πe)(N) = (1)/(2)log(N + 1)/(N)
за вториот член од (3.89↑) се добива:
I(X1;2, Y3|X2) = h(2, Y3|X2) − h(2, Y3|X1X2) = 
 = h(2|X2) + h(Y3|X22) − h(2|X1X2) − h(Y3|X1X22) = 
 = h(g21X1 + Z2 + Z|X2) + h(g31X1 + g32X2 + Z3|X22) − 
 − h(g21X1 + Z2 + Z|X1X2) − h(g31X1 + g32X2 + Z3|X1X22) ≤ 
 ≤ (1)/(2)log(E[Var(g21X1)] + 1 + N) + (1)/(2)log(E[Var(g31X1|2)] + 1) − 
 − (1)/(2)log2πe(1 + N) − (1)/(2)log2πe = 
 = (1)/(2)log2πe(γ21 + 1 + N) + (1)/(2)log2πeγ31 − (g231E2(X12))/(E[22]) + 1 − 
 − (1)/(2)log2πe(1 + N) − (1)/(2)log2πe = 
 = (1)/(2)log((γ21 + 1 + N))/(N + 1) + (1)/(2)logγ31 − (g231E2(X1(g21X1 + Z2 + Z)))/(E[22]) + 1 = 
 = (1)/(2)log((γ21 + 1 + N))/(N + 1) + (1)/(2)logγ31 − (g231g221E2(X21))/(γ21 + 1 + N) + 1 = 
 = (1)/(2)log((γ21 + 1 + N))/(N + 1) + (1)/(2)logγ31 − (γ31γ21)/(γ21 + 1 + N) + 1
(3.218)  = (1)/(2)log((γ21 + 1 + N))/(N + 1)γ31 − (γ31γ21)/(γ21 + 1 + N) + 1
Доколку се заменат (3.216↑),3.217↑ и (3.218↑) во (3.89↑) се добива:
C ≥ maxmin(1)/(2)log(1 + γ31 + γ32)(N)/(N + 1), 
(3.219) (1)/(2)log((γ21 + 1 + N))/(N + 1)γ31 − (γ31γ21)/(γ21 + 1 + N) + 1
Се работи за две непрекинати и конкавни функции кои се сечат во една пресечна точка. До пресечната точка првиот член од парот е помал, а после пресечната точка помал е вториот член. Имајќи го тоа во предвид следи дека пресечната точка всушност претставува максимум на резултантаната функција која е минимум од двете функции. Имајќи го тоа во предвид, пресечната точка се наоѓа доколку се реши равенството (3.220↓):
(3.220) (1 + γ31 + γ32)(N)/(N + 1) − ((γ21 + 1 + N))/(N + 1)γ31 − (γ31γ21)/(γ21 + 1 + N) + 1 = 0
Пресечната точка е дадена со (3.221↓):
(3.221) N0 = (1 + γ31 + γ21)/(γ32)
Ако (3.221↑) се замени во првиот или вториот член од минимизацијата во (3.219↑) ќе се добие:
((1 + γ31 + γ32)(1 + γ31 + γ21))/(γ32(1 + γ31 + γ21)/(γ32) + 1) = ((1 + γ31 + γ32)(1 + γ31 + γ21))/((1 + γ31 + γ21 + γ32)) = 
 = (γ231 + γ21γ31 + γ32γ31 + 2γ31 + γ21 + γ21γ32 + γ32 + 1)/((1 + γ31 + γ21 + γ32)) = 
 = 1 + (γ231 + γ21γ31 + γ32γ31 + γ31 + γ21γ32)/((1 + γ31 + γ21 + γ32)) = 
(3.222)  = 1 + (γ31(γ31 + γ21 + γ32 + 1) + γ21γ32)/((1 + γ31 + γ21 + γ32)) = 1 + γ31 + (γ21γ32)/((1 + γ31 + γ21 + γ32)), 
со што се докажува (3.214↑). Границата во (3.214↑) се достигнува ако γ32 → ∞ . Кога вредноста на γ21 е мала, границата може да се подобри со временска распределба во предавателот на изворот.
 CF методата дава подобри резултати од DF кога каналот од изворот до релето е послаб од каналот од изворот до дестинацијата т.е. кога γ21 < γ31, или кога каналот од релето до дестинацијата е доволно силен. DF методата покажува подобри резултати од CF во другите режими. Во општ случај, може да се покаже дека и двата методи достигнуваат брзини на пренесување во рамките на пола бит од CUB[14].

2.4.3 Гаусов релеен канал со фреквентна распределба во дестинацијата

 Релејниот канал со фреквентна распределба во приемникот на дестинацијата (анг. RFD - Receiver Frequency Division) прикажан на слика 2.9↓ еден од можните начини за имплементација на релејниот канал со ортогонални приемни компоненти.
figure Images/Gausov SFD Releen Kanal.png
Figure 2.9 Гаусов канал со фреквентна распределба во дестинацијата
Во овој полудуплексен модел, каналот од релето до дестинацијата користи различен фреквентен опсег од дифузниот канал од изворот до релето и дестинацијата. Уште поточно, во овој модел Y3 = (Y3’, Y3’’) и
(3.223) Y2 = g21X1 + Z2,  Y3’ = g31X1 + Z3Y3’’ = g32X2 + Z3’’, 
каде g21, g31,   и g32 се каналните коефициенти, и Z2 ~ N(0, 1) и Z3 ~ N(0, 1) се независните компоненти на шумот. Да претпоставиме дека за X1 и X2 постои ограничување на средната моќност на вредност P. Капацитетот на овој канал не е познат во општ случај.
CUB во теоремата 2.1↑ (под услов на ограничувањето на моќност) се сведува на [14]:
(3.224) C ≤  C(γ31) + C(γ32)  доколку γ21 ≥ γ32(γ31 + 1)       C(γ21 + γ31)  во спротивно
Доказ: CUB за приемник со ортогонални приемни компоненти е дадена со(3.114↑):
(3.225) C ≤ maxp(x1)min{I(X1;Y3) + C0, I(X1;Y2, Y3)};
(3.226) C0 = maxp(x2)I(X2;Y3’’); p(y2, y3|x1x2) = p(y3’, y2|x1)p(y3’’|x2)
Ако се употреби (3.223↑) во (3.226↑) ќе се добие:
(3.227) C0 = I(X2;Y3’’) = h(Y3’’) − h(Y3’’|X2) = (1)/(2)log(γ32 + 1) = C(γ32)
(3.228) I(X1;Y3) = h(Y3) − h(Y3’|X1) = (1)/(2)log2πe(g231P + 1) − (1)/(2)log(2πe) = (1)/(2)log(1 + γ31) = C(γ31)
(3.229) I(X1;Y3) + C0 = C(γ31) + C(γ32) = (1)/(2)log(1 + γ31)(1 + γ32)
Вториот член од изразот за минимизација во (3.225↑) може да се сведе на:
I(X1;Y2, Y3) = h(Y2Y3) − h(Y2Y3’|X1) = h(Y2) + h(Y3’|Y2) − h(Y2|X1) − h(Y3’|Y2X1) = 
 ≤ (1)/(2)log(2πe)(γ21 + 1) + (1)/(2)log(2πe)E[Y’23] − (E2[Y3Y2])/(E[Y22]) − (1)/(2)⋅log(2πe) − (1)/(2)⋅log(2πe) = 
 = (1)/(2)log(γ21 + 1) + (1)/(2)logγ31 + 1 − (E2[(g31X1 + Z3)(g21X1 + Z2)])/(E[Y22]) = 
 = (1)/(2)log(γ21 + 1) + (1)/(2)logγ31 + 1 − (g231g221E2[X21])/(γ21 + 1) = 
 = (1)/(2)log(γ21 + 1) + (1)/(2)logγ31 + 1 − (γ21γ31)/(γ21 + 1) = (1)/(2)log(γ21 + 1)γ31 + 1 − (γ21γ31)/(γ21 + 1) = 
(3.230)  = (1)/(2)log(1 + γ21 + γ31)
Ако се заменат (3.227↑), (3.228↑) и (3.230↑) во (3.225↑) се добива:
C ≤ maxp(x1)min{I(X1;Y3) + C0, I(X1;Y2, Y3)} = 
(3.231)  = maxp(x1)min(1)/(2)log(1 + γ31) + (1)/(2)log(1 + γ32), (1)/(2)log(1 + γ21 + γ31)
(1 + γ31)(1 + γ32)(1 + γ31 + γ21) γ32γ31 + \cancelγ31 + γ32 + 1≶
(3.232) ≶1 + \cancelγ31 + γ21 γ32γ31 + γ32γ21 γ32(γ31 + 1)γ21
Доколку во изразот (3.232↑) десната страна од знакот е поголема од левата тогаш минимизацијата во (3.231↑) го дава првиот член, а доколку левата страна е поголема од десната тогаш минимизацијата во (3.231↑) го дава вториoт член со што се потврдува тврдењето 2.4.3↑.
Долната граница за декодирај-и-проследи во теоремата 2.2.3↑ за RFD канал се сведува на [14]:
(3.233) C ≥  C(γ31) + C(γ32)   доколку γ21 ≥ γ32(γ31 + 1)       C(γ21)  во спротивно
Доказ: Долната граница за декодирај-и-проследи согласно теорема 2.2.3↑ e:
(3.234) C ≥ maxp(x1x2)min{I(X1, X2;Y3), I(X1;Y2|X2)}
(3.235) Y2 = g21X1 + Z2,  Y3’ = g31X1 + Z3’,  Y3’’ = g32X2 + Z3’’
Ако изразите за Гаусов RFD канал (3.235↑) се заменат во (3.234↑), првиот член од (3.234↑) се сведува на:
I(X1X2;Y3) = I(X1X2;Y3’, Y3’’) = I(X1X2;Y3) + I(X1X2;Y3’’|Y3) = 
 = h(Y3) − h(Y3’|X1X2) + h(Y3’’|Y3) − h(Y3’’|X1X2Y3) = 
 = h(Y3) − h(Y3’|X1) + h(Y3’’) − h(Y3’’|X2) = I(X1;Y3) + I(X2;Y3’’) = 
(3.236)  = (1)/(2)log2πe(γ31 + 1) − (1)/(2)log2πe + (1)/(2)log2πe(γ32 + 1) − (1)/(2)log2πe = C(γ31) + C(γ32)
Вториот член од (3.234↑) се сведува на:
(3.237) I(X1;Y2|X2) = h(Y2|X2) − h(Y2|X2X1) ≤ (1)/(2)log2πe(γ21 + 1) − (1)/(2)log2πe = C(γ21)
Ако (3.236↑) и (3.237↑) се заменат во (3.234↑) се добива:
(3.238) C ≥ maxp(x1x2)min{C(γ31) + C(γ32), C(γ21)}
(3.239) log(1 + γ31) + (1)/(2)log(1 + γ32)(1)/(2)⋅log(1 + γ21)
(1 + γ31)(1 + γ32)(1 + γ21) 1 + γ31 + γ32(1 + γ31)≶1 + γ21
(3.240) γ31 + γ32(1 + γ31)γ21
Доколку во изразот (3.240↑) десната страна од знакот е поголема од левата тогаш минимизацијата во (3.238↑) го дава првиот член, а доколку левата страна е поголема од десната тогаш минимизацијата во (3.238↑) го дава вториот член со што се потврдува изразот (3.233↑) односно тврдењето 2.4.3↑. Кога γ21 ≥ γ31 + γ32(γ31 + 1) границите во (3.224↑) и (3.233↑) се поклопуваат и капацитетот C = C(γ31) + C(γ32) се достигнува со декодирај-и-проследи. Доколку γ21 ≤ γ31 , долната граница за декодирај-и-проследи C(γ21) е полоша од долната граница за директен пренос C(γ31).
Долната граница за компримирај-и-проследи во теорема 2.3↑ со X1 ~ N(0, P),  X2 ~ N(0, P) и Z ~ N(0, N), кои се независни една од друга, и 2 = Y2 + Z, се сведува (после оптимизацијата по N) на [14]:
(3.241) C ≥ Cγ31 + (γ21γ32(γ31 + 1))/(γ21 + (γ31 + 1)(γ32 + 1)).
Доказ: Доколку во долната граница за CF RFD канал ((3.115↑)) се заменат:
(3.242) 2 = Y2 + Z X1 ~ N(0, P),  X2 ~ N(0, P) и Z ~ N(0, N)
(3.243) Y2 = g21X1 + Z2,  Y3’ = g31X1 + Z3’,  Y3’’ = g32X2 + Z3’’ 2 = Y2 + Z = g21X1 + Z2 + Z
за вториот член од минимизацијата во (3.115↑) се добива:
I(X1;2, Y3) = I(X1;2) + I(X1;Y3’|2) = h(2) − h(2|X1) + I(X1;Y3’|2)
 = h(g21X1 + Z2 + Z) − h(g21X1 + Z2 + Z|X1) + I(X1;Y3’|2) = 
(3.244)  = (1)/(2)log(2πe)(γ21 + 1 + N) − (1)/(2)log(2πe)(1 + N) + I(X1;Y3’|2) = 
Приемниот сигнал во релето y2 (односно неговата реконструкција 2) и сигналот во дестинацијата y3 се корелирани бидејќи тие се копии од еден ист сигнал (x1) добиени од две независни патеки со шум и просторно слабеење. Имајќи го ова во предвид за условната здружената информација во (3.244↑) се добива:
(3.245) I(X1;Y3’|2) = h(Y3’|2) − h(Y3’|X12)
h(Y3’|2) = E[h(Y3’|2)] ≤ E(1)/(2)log2πe(Var(Y3|2)) ≤ 
(3.246)  ≤ (1)/(2)log2πe(E[Var(Y3|2)]) ≤ (1)/(2)log2πeE[Y’23] − (E2[Y32])/(E[22])
Изразот под логаритамот во (3.246↑) може да се сведе на:
E[Y’23] − (E2[Y32])/(E[22]) = γ31 + 1 − (E2[(g31X1 + Z3)(g21X1 + Z2 + Z)])/(γ21 + 1 + N) = 
(3.247)  = γ31 + 1 − (g231g221P2)/(γ21 + 1 + N) = γ31 + 1 − (γ31γ21)/(γ21 + 1 + N)
Ако се замени (3.247↑) во (3.246↑) ќе се добие:
(3.248) h(Y3’|2) ≤ (1)/(2)log2πeγ31 + 1 − (γ31γ21)/(γ21 + 1 + N)
Ако (3.248↑) се замени во (3.245↑) се добива:
I(X1;Y3’|2) ≤ (1)/(2)log2πeγ31 + 1 − (γ31γ21)/(γ21 + 1 + N) − (1)/(2)log2πe = 
(3.249)  = (1)/(2)logγ31 + 1 − (γ31γ21)/(γ21 + 1 + N)
Ако (3.249↑) се замени во (3.244↑) се добива:
I(X1;2, Y3) ≤ (1)/(2)log(2πe)(γ21 + 1 + N) − (1)/(2)log(2πe)(1 + N) + 
 + (1)/(2)⋅logγ31 + 1 − (γ31γ21)/(γ21 + 1 + N) = 
 = (1)/(2)log(γ21)/(1 + N) + 1 + (1)/(2)⋅logγ31 + 1 − (γ31γ21)/(γ21 + 1 + N) = 
(3.250)  = (1)/(2)log(γ21)/(1 + N) + 1γ31 + 1 − (γ31γ21)/(γ21 + 1 + N)
Првиот член од изразот за минимизацијата во (3.115↑) е:
(3.251) C1 = I(X1;Y3) + C0 − I(Y2;2|X1Y3)
Првите два члена од (3.251↑) се сведуваат на:
(3.252) I(X1;Y3) = (1)/(2)log(γ31 + 1)
(3.253) C0 = I(X2;Y3’’) = (1)/(2)log(γ32 + 1)
Третиот член од (3.251↑) се сведува на:
I(Y2;2|X1Y3) = h(2|X1Y3) − h(2|X1Y3Y2) = h(g21X1 + Z2 + Z|X1Y3) − 
(3.254)  − h(Y2 + Z|X1Y3Y2) = (1)/(2)log2πe(1 + N) − (1)/(2)log2πeN = (1)/(2)log(1)/(N) + 1
Доколку се заменат (3.252↑), (3.253↑) и (3.254↑) во (3.251↑) се добива:
C1 = (1)/(2)log(γ31 + 1) + (1)/(2)log(γ32 + 1) − (1)/(2)log(1)/(N) + 1 = 
(3.255)  = (1)/(2)log(γ31 + 1)(γ32 + 1)(N)/(N + 1)
Доколку (3.255↑) и (3.250↑) се заменат во (3.115↑) се добива:
C = min(1)/(2)log(γ31 + 1)(γ32 + 1)(N)/(N + 1), 
(3.256) (1)/(2)log(γ21)/(1 + N) + 1γ31 + 1 − (γ31γ21)/(γ21 + 1 + N)
Се работи за две непрекинати и конкавни функции кои се сечат во една пресечна точка. До пресечната точка едниот член од парот е помал, а после пресечната точка помал е другиот член. Имајќи го тоа во предвид следи дека пресечната точка всушност претставува максимум на резултантаната функција која е минимум од двете функции. Пресечната точка се наоѓа доколку се реши равенството:
(3.257) (γ31 + 1)(γ32 + 1)(N)/(N + 1) − (γ21)/(1 + N) + 1γ31 + 1 − (γ31γ21)/(γ21 + 1 + N) = 0
(3.258) N0 = (1 + γ31 + γ21)/(γ32)
Ако пресечната точка дадена со (3.258↑) се замени во, на пример, првиот член од (3.256↑), после упростувањето на дропките се добива:
(3.259) (γ31 + 1)(γ32 + 1)(N0)/(N0 + 1) = 1 + γ31 + (γ21γ32(γ31 + 1))/(γ21 + (γ31 + 1)(γ32 + 1))
Конечно, доколку (3.259↑) се замени во (3.256↑) се добива:
(3.260) C = (1)/(2)log1 + γ31 + (γ21γ32(γ31 + 1))/(γ21 + (γ31 + 1)(γ32 + 1))
Оваа граница станува асимптотски многу прецизна доколку γ31 или γ32 се приближуваат до бесконечност. За мало γ21, т.е. мал SNR во каналот од изворот до релето, CF методата дава подобри перформанси од DT и DF методите. Освен тоа, брзината на пренесување на CF методата може да се подобри со временска распределба во изворот, т.е., да му се дозволи на изворот да испраќа со моќност P ⁄ α во дел α ∈ [0, 1] од времето и нула моќност за преостанатото време.

2.4.4 Линеарен Гаусов RC со фреквентна распределба во дестинацијата

 Да разгледуваме Гаусов RFD релеен канал со релејни функции кои се линеарни комбинации од претходно примените симболи. Треба да се забележи дека под претпоставка на ортогонални приемни компоненти, може да се елиминира доцнењето при кодирањето во релето со едноставно преименување на времето за пренос во каналот X2 во Y3’’ . На сличен начин еквивалентно разгледуваме релејни функции во форма x2i = ij = 1aijy2ji ∈ [1:n] или во векторска форма Xn2 = AYn2 каде A е nxn долна триалголна матрица.
(3.261) x21 x22 ... x2n  =  a11 0 0 0 a21 a22 0 0 ... ... ... ... an1 an2 ... ann y21 y22 ... y23
 Оваа метода го сведува релејнот канал на точка-точка Гаусов канал со влез Xn1 и излез Yn3 = (Y3n, Y3’’n). Треба да се забележи дека релејниот канал со линеарната релејна функција може значително полесно да се имплементира во пракса отколку DF и CF каналите. Се покажува дека неговите перформанси се споредливи со перформансите на овие покомплексни методи во случај на голем SNR.
Капацитетот на системот со линеарна релејна функција, CL, се карактеризира со израз со повеќе знаци [14]:
(3.262) CL = limk → ∞C(k)L
(3.263) C(k)L = maxF(xk1), A(1)/(k)I(Xk1;Yk3)
Максимумот е по сите кумулативни веројатности F(xk1) и долни триаголни матрици A кои го задоволуваат ограничувањето на моќност во изворот и релето - P. Може да се покаже дека C(k)Lсе достигнува со Гаусов влезен сигнал Xk1 кој го задоволува ограничувањето на моќност.

2.4.5 Гаусов релеен канал со засили-и-проследи

 Да разгледуваме C(1)L, што ја дава максималната брзина за пренос која може да се достигне со едноставна засили-и-проследи релејна функција. Може да се покаже дека C(1)L се достигнува со избор X1 ~  N(0, P) и X2 = Y2(P ⁄ (γ21 + 1)). Во тој случај [14]:
(3.264) C(1)L = Cγ31 + (γ21γ32)/(γ21 + γ32 + 1)
figure Images/Zasili i prosledi releen sistem.png
Figure 2.10 Засили-и-проследи релеен канал
Доказ: Да го разгледуваме AF релејниот канал прикажан на слика 2.10↑. Да претпоставиме дека X1,  X2, ... се i.i.d  ~ N(0, P), Z2, Z3’, Z3’’ ~  N(0, N) и x2 = Ay2 каде A е:
(3.265) A = ((P)/(g221P + N)) A2 = (P)/(g221P + N) = ((P)/(N))/(g221(P)/(N) + 1)
Факторот на засилување - A се избира согласно (3.265↑) за да се задоволи ограничувањето на моќност во релето [16].
Каналот е опишан со следниве изрази:
(3.266) X1 ~  N(0, P) Y2 = g21X1 + Z2 X2 = AY2, 
Y3’’ = Y31’’ = g32X2 + Z3’’ = g32A(g21X1 + Z2) + Z3’’ = 
(3.267)  = g32Ag21X1 + g32AZ2 + Z3’’ Y3’ = Y31’ = X1 + Z3
Капацитетот на каналот е даден со изразот (3.263↑) кој за случај на засили-и-проследи се сведува на барање на максимум од следнава здружена информација:
(3.268) I(X1;Y31Y31’’) = h(Y31Y31’’) − h(Y31Y31’’|X1) = 
(3.269)  = h(Y31’’) + h(Y31’|Y31’’) − h(Y31’|X1) − h(Y31’’|X1Y31)
Ако се земе во предвид (3.267↑) и дека се работи за гаусов канал првиот член од (3.269↑) се сведува на:
(3.270) h(Y31’’) = h(g32Ag21X1 + g32AZ2 + Z3’’) ≤ (1)/(2)log(2πe)(g232A2g221P + g232A2N + N), 
a вториот член се сведува на:
(3.271) h(Y31’|Y31’’) = h(X1 + Z|Y31’’) = (1)/(2)log(2πe)E(Var(X1 + Z|Y31’’))
Изразот во логаритамот во (3.271↑) се сведува на:
E(Var(X1 + Z|Y31’’)) = E(Var(X1|Y31’’)) + N = P − (E2(X1Y31’’))/(E(Y’’231)) + N = 
(3.272)  = P − (E2(X1(g32Ag21X1 + g32AZ2 + Z3’’)))/(E(Y’’231)) + N = P − (g232A2g221P2)/(g232A2g221P + g232A2N + N) + N
Ако (3.272↑) се замени во (3.271↑) се добива:
(3.273) h(Y31’|Y31’’) = (1)/(2)log(2πe)P − (g232A2g221P2)/(g232A2g221P + g232A2N + N) + N
Ако се сумираат (3.270↑) и (3.273↑) се добива првиот член од (3.268↑) односно сумата од првите два члена во (3.269↑):
h(Y31Y31’’) = (1)/(2)log(2πe)(g232A2g221P + g232A2N + N) + 
 + (1)/(2)log(2πe)P − (g232A2g221P2)/(g232A2g221P + g232A2N + N) + N = 
(3.274)  = (1)/(2)log(2πe)2(g221g232A2NP + g232A2N2 + g232A2NP + N2 + NP)
Третиот член од (3.269↑) се сведува на:
(3.275) h(Y31’|X1) = (1)/(2)log(2πe)(N)
Четвртиот член од (3.269↑) се сведува на:
h(Y31’’|X1Y31) = h(g32Ag21X1 + g32AZ2 + Z3’’|X1Y31) = 
(3.276)  = (1)/(2)log(2πe)Var(g32AZ2 + Z3’’|Y31) = (1)/(2)log(2πe)(g232A2N + N)
Ако се заменат 3.274↑, 3.275↑ и 3.276↑ во (3.269↑) се добива:
I(X1;Y31Y31’’) = (1)/(2)log(2πe)2(g221g232A2NP + g232A2N2 + g232A2NP + N2 + NP) − 
 − (1)/(2)log(2πe)2N(g232A2N + N) = 
 = (1)/(2)log((g221g232A2NP + g232A2N2 + g232A2NP + N2 + NP))/(N(g232A2N + N)) = 
(3.277)  = (1)/(2)log\underset(a)1 + ((g221g232A2NP + g232A2NP + NP))/(g232A2N2 + N2)
Ако се замени (3.265↑) во (3.277↑) и се разгледувам само изразот под логаритамот, се добива:
a = 1 + ((g221 + 1)g232(P)/(g221P + N)NP + NP)/(N2g232(P)/(g221P + N) + 1) = 1 + (P(g221 + 1)g232(P)/(g221P + N) + 1)/(N(g232P + g221P + N)/(g221P + N)) = 
(3.278)  = 1 + (P((g221 + 1)g232P + g221P + N))/(N(g232P + g221P + N)) = 1 + (P)/(N)1 + (g221g232P)/((g221 + g232)P + N)
Ако се замени (3.278↑) во (3.277↑) се добива:
I(X1;Y31Y31’’) = (1)/(2)⋅log1 + (P)/(N)1 + (g221g232P)/((g221 + g232)P + N) = 
(3.279)  = C(P)/(N)1 + (g221g232P)/((g221 + g232)P + N)
Изразот (3.279↑) може да се прикаже преку соодветните односи сигнал-шум:
(3.280) I(X1;Y31Y31’’) = C(P)/(N) + (g221g232)/((g221 + g232)(P)/(N) + 1)(P2)/(N2) = Cγ31 + (γ21γ32)/(γ21 + γ32 + 1)
Со што се докажува изразот (3.264↑) за капацитет на системот засили-и-проследи.
Се покажува дека [14] дека CF методата дава подобри перформанси од AF но е многу покомплексен за имплементација.

2.4.6 Кaпацитет на AF каскаден релеен канал

 Моделот на AF каскадниот релеен канал се базира на моделот на Гаусовиот релеен канал со засили и проследи прикажан на слика 2.10↑ но без постоење на директната компонента од изворт до дестинацијата (g31 = 0).
Капацитетот на овој тип на канал може да се добие доколку во изразот (3.264↑) се земе γ31 = 0:
(3.281) C(1)L = C(γ21γ32)/(γ21 + γ32 + 1)
Доказ: Истиот израз може да се добие доколку на сликата 2.10↑ се гледа само горната гранка:
(3.282) Y2 = g21X1 + Z2,  γ21 = (|g21|2P)/(N),  γ32 = (|g32|2P)/(N)
(3.283) Y3’’ = g32X2 + Z3’’ = g32AY2 + Z3’’ = g32A(g21X + Z2) + Z3’’ = g32Ag21X1 + g32AZ2 + Z3’’
(3.284) Z3’’ ~ N(0, N) Z2 ~ N(0, N) A = ((P)/(g221P + N))
Ако се замени (3.284↑) во (3.283↑) се добива:
(3.285) Y3’’ = Y31’’ = g32X2 + Z3’’ = g32g21((P)/(g221P + N))X1 + g32((P)/(g221P + N))Z2 + Z3’’
Капацитетот на каналот е даден со изразот (3.263↑) кој за случај на засили-и-проследи без директна компонента се сведува на барање на максимум од следнава здружена информација:
I(X;Y3’’) = h(Y3’’) − h(Y3’’|X1) = 
h(g32g21((P)/(g221P + N))X1 + g32((P)/(g221P + N))Z2 + Z3’’) − h(g32AZ2 + Z) = 
 = (1)/(2)log2πeg232g221(P)/(g221P + N)P + (g232P)/(g221P + N)N + N − (1)/(2)log2πe(g232PN)/(g221P + N) + N
 = (1)/(2)log(g232(g221(P)/(N))/(g221(P)/(N) + 1)P + (g232P)/(g221P + N)N + N)/(N(g232P)/(g221P + N) + N) = (1)/(2)log1 + ((g232Pγ21)/(γ21 + 1))/(N(g232(P)/(N))/(g221(P)/(N) + 1) + 1) = 
(3.286)  = (1)/(2)log1 + ((γ21)/(γ21 + 1)γ32)/((γ32)/(γ21 + 1) + 1) = (1)/(2)log1 + (γ32γ21)/(γ32 + γ21 + 1), 
со што се докажува изразот (3.281↑).
\rightmark
\thepage
\sloppy

3 Перформанси на МИМО релеен канал со две делници и две антени по јазол

 Во безжичните комуникациски системи веројатноста на грешка (EP) и веројатност на испад (OP) се најважните метрики на перформансите на системот. Во оваа глава ќе ги анализираме EP и OP перформансите на релеен канал со две делници, кој се состои од извор (со две антени), реле (со една или две антени) и дестинација (со една или две антени), кои го користат OSTBC кодирањето на Аламути [17] во случај на Рејлиев фединг ([19], [18]). OSTBC кодот на Аламути е високо ефикасна техника која ги користи расположивите степени на слобода на комуникацискиот канал (или делница) со две предавателни антени со удвојување на добивката во капацитет и диверзитет [17].
 Во оваа глава се користи варијанта на засили-и-проследи релејна метода, наречана раздвои-и-проследи (DCF), врз основ на која релето ги раздвојува ОSTBC сигналите примени од изворот во две независни податочни низи, ги засилува секоја од нив независно и ги испраќа кон дестинацијата. Во DCF методата ќе користиме променливо засилување (VG) во релето [6] за кое е потребно познавање на каналните информации во релето и дестинацијата.
 Во продложението на оваа глава ќе спроведеме теоретска анализа на OP перформансите на овие канали и ќе ги споредиме со каналите со две делници кои имаат по една антена во изворот, релето и дестинацијата и со точка-точка каналите кои имаат по две антени. Резултатите добиени од теоретската анализа ќе ги спроедиме со резултатите добиени со Монте-Карло симулации.
 Со користење на Монте-Карло симулации ќе ги анализираме EP перформансите на овие релејни канали и ќе ги споредиме со декодирај-и-проследи релејната метода. Освен тоа со помош на симулации ќе го споредиме разгледуваниот систем кој корити релеи со променливо засилување (VG) со системот кој користи релеи со фиксно засилување (FG).
 Во трудот [33] е дадена анализа на веројатноста за грешка на DCF систем со две делници со две антени во изворот, релето и дестинацијата. Во трудот [34] е дадена анализа на веројатноста за грешка за DCF систем со две делници и повеќе антени во изворот и дестинацијата и една антена во релето.
 Oваа глава е организиранa на следниов начин. Во глава 3.1↓ ќе дадеме краток осврт на системите кои користат по една антена во јазлите. Во наредната глава (3.2↓) накратко ќе ги проучиме основните системи со диверзитет во приемникот и предавателот кои се базични за понатамошната анализа. Главата 3.4↓ го презентира моделот на системот и на каналот. Во главата 3.4↓ ќе го изведеме изразот за крај-крај односот сигнал-шум (SNR) и функцијата за генерирање на моменти (MGF) кои се неопходни за успешна анализа на веројатноста за испад на овие системи. Резултатите ќе бидат презентирани во глава 3.5↓.

3.1 Релеен канал со една антена по јазол

 Во зависност од природата и комплексноста на релето, релејните канали можат да се класифицираат во две основни категории: регенеративни и транспарентни (не-регенеративни) системи. Во регенеративните системи релето во целост го декодира сигналот испратен од изворот преку првата делница и ја проследува декодираната верзија во втората делница. Од друга страна транспарентните системи користат поедноставни релеи кои само го засилуваат и проследуваат примениот сигнал без да вршат декодирање. Релеите во транспарентните системи можат да се поделата на: (1) релеи со променливо засилување кои имаат CSI за првата делница и (2) „слепи“ релеи [6]. Транспарентните системи со релеи со променливо засилување го користат моменталниот CSI за првата делница за да го контролираат засилувањето на релето така што на излез од релето се добие константна моќност. На системите со „слепи“ релеи на релеите не им е потребно да го знаат моменталниот CSI на првата делница. Релеите во овие системи користат засилувачи со фиксно засилување поради што на излезот од релето се добива сигнал со променлива моќност. Иако за системите со слепи релеи не се очекува да имаат перформанси како системите со променливо засилување во релето, нивната едноставност и лесна имплементација (заедно со нивните споредливи перформанси) ги прави атрактивни од практична гледна точка.
figure Images/Wireless communication system.png
Figure 3.1 Безжичен комуникациски систем каде јазолот J2 го проследува сигналот од јазолот J1 кон J3
 Да го разгледуваме безжичниот комуникациски систем прикажан на 3.1↑. Во системот јазолот J1 комуницира со јазолот J3 преку јазолот J2 кој се однесува како реле. Да претпоставиме дека јазолот J1 го испраќа сигналот x(t) со средна моќност E1. Приемниот сигнал во терминалот J2 е:
(4.1) r2(t) = αx(t) + n2(t)
каде α е амплитудата на федингот на каналот од J1 до J2, и n1(t) е додавачки бел Гаусов шум (AWGN) со моќност N02 на влезот на J2. Кај транспаретните системи, приемниот сигнал во јазолот J2 се множи со фактор на засилување A, и потоа се проследува кон јазолот J3. Приемниот сигнал во терминалот J3 е:
(4.2) r3 = βA(αx(t) + n2(t)) + n3(t) = αβAx(t) + βAn2(t) + n3(t)
каде β е амплитудата на федингот на каналот помеѓу јазлите J2 и J3 и n3(t) е бел додавачки Гаусов шум со моќност N03 на влез од јазолот J3. Од (4.2↑) може да се добие крај-крај односот сигнал-шум:
(4.3) γeq = (α2β2A2E1)/(β2A2N02 + N03) = (α2β2A2E1)/(A2N02N03(β2)/(N03) + (1)/(A2N02)) = ((α2E1)/(N02)(β2)/(N03))/((β2)/(N03) + (1)/(A2N02))
Од (4.3↑) јасно е дека изборот на факторот на засилување го дефинира крај-крај односот сигнал-шум.
 Во случај на постоење на CSI во јазолот J2, во [21] е предложено зaсилување:
(4.4) A2 = (E2)/(E1α2 + N02)
каде E2 е моќност на сигналот на излез од релето. Ваквиот избор на факторот на засилување има за цел да го инвертира фединг ефектот на првата делница но исто така ја ограничува излезната моќност на релето доколку амплитудата на федингот α, е мала. Сепак на релеите со променливо засилување им е потребна постојана естимација на амплитудата на федингот во првата делница што го прави ваквиот избор на засилување тешко остварлив од практична гледна точка. Ако се замени (4.4↑) во (4.3↑) се добива:
γeq1 = ((α2E1)/(N02)(β2)/(N03))/((β2)/(N03) + (E1α2 + N02)/(E2N02)) = ((α2E1)/(N02)(β2)/(N03))/((β2E2N02 + N03E1α2 + N03N02)/(E2N02N03)) = 
(4.5)  = ((α2E1)/(N02)(β2E2)/(N03))/((β2E2)/(N03) + (α2E1)/(N02) + 1) = (γ1γ2)/(γ1 + γ2 + 1)
каде γ1 = (α2E1)/(N02) и γ2 = (β2E2)/(N03) се моменталните односи сигнал-шум за првата и втората делница, соодветно. Перформансите на релејните канали кои користат релеи со променливо засилување согласно 4.4↑ во Рејлиев фединг се анализирани во [21], [22] и [23], а анализата на перформансите за Накагами фединг е дадена во [24].
 Системите со „слепи“ релеи користат фиксен фактор на засилување без оглед на амплитудата на федингот во првата делница. Дoколку во (4.3↑) земеме C = E2 ⁄ (A2N02) се добива:
(4.6) γeq2 = ((α2E1)/(N02)(β2E2)/(N03))/((β2E2)/(N03) + (E2)/(A2N02)) = (γ1γ2)/(C + γ2)
каде C е константа за фиксно A.
 Може да претпоставиме дека релето не го знае моменталниот CSI за првата делница, но има статистички CSI за првата делница односно ја знае средната моќност на федингот Ω = E[α2] која се менува споро во спроедба со α. Ваквото реле не мора постојано да го мониторира каналот, како што е случај за релеите со променливо засилување. Ваквите релеи ќе ги нарекуваме „полу-слепи“. Засилувањето во „полу-слепите“ релеи се избира согласно [6]:
(4.7) A2 = E(E2)/(E1α2 + N02)
На овој начин релето со променливо засилување (4.4↑) и полу-слепото реле (4.7↑) во просек внесуваат исто засилување. За рејлиев фединг (2.22↑) факторот на засилување даден со (4.7↑) се сведува на:
(4.8) A2 = 0(E2)/(N02(γ1 + 1))(1)/(γ)e − (γ1)/(γ1)dγ
Изразот (4.8↑) доколку се употреби дефиницијата за експоненцијален интеграл [39] се сведува на:
(4.9) A2 = (E2)/(E1⋅Ω)e(1)/(γ1)E1(1)/(γ1)
Следователно за C добиваме:
(4.10) C = (E2)/(A2N02) = (\cancelE2)/(N02(\cancelE2)/(E1⋅Ω)e(1)/(γ1)E1(1)/(γ1)) = ((E1⋅Ω) ⁄ N02)/(e(1)/(γ1)E1(1)/(γ1)) = (γ1)/(e(1)/(γ1)E1(1)/(γ1))
каде γ1 = E1⋅Ω ⁄ N02 е средниот однос сигнал-шум за делницата од изворот до дестинацијата. Доколку (4.10↑) се замени во (4.6↑) ќе се добие:
(4.11) γeq2 = (γ1γ2)/(γ2 + γ1 ⁄ [e1 ⁄ γ1E1(1 ⁄ γ1)])
 Во трудот [6] е покажано дека за средни до големи вредности на средниот однос сигнал-шум, системот со променливо засилување (4.4↑) покажува подобри перформанси од системот со фиксно засилување (4.9↑). Во истиот труд е покажано дека системот со релеи со фиксно засилување имаат подобри перформанси во поглед на веројатноста на испад од релеите со променливо засилување за мали до средени вредности на средниот однос сигнал-шум. Ова се должи на фактот дека релеите со променливо засилување имаат максимално засилување E2 ⁄ N02 во случај кога α е многу мало, што е релативно чест случај во регионот на мали до средни вредности на средниот однос сигнал-шум. Овој регион може да се прошири и на десно со зголемување на праготγth (види (2.7↑)).

3.2 Приемен и предавателен диверзитет

 Системите кои имаат повеќе антени во приемникот велиме дека имаат приемен диверзитет, а системите кои имаат повеќе антени во предавателот велиме дека имаат предавателен диверзитет. Од системите со приемен диверзитет во оваа глава ќе ги разгледуваме системи кои во дестинацијата користат комбинирање со максимален сооднос (анг. MRC - Maximum Ratio Combiner) . За таа цел ќе разгледуваме систем со N приемни антени во дестинацијата и една предавателна антена во изворот.
 Во i-та приемна антена приемниот сигнал е:
(4.12) yi = hix + ni i = 1, 2, ..N
Каде hi е комплексна случајна променлива која го опишва федингот во каналот од предавателната антена до i-та приемна антена, x е испратениот симбол и ni е шумот во i-та приемна антена. Изразот (4.12↑) може да се претстави со користење на матрици:
(4.13) y = hx + n
каде:
(4.14) y = [y1, y2, ...yN]T h = [h1, h2, ..., hN]T n = [n1, n2, ...nN]T
Доколку во дестинацијата се користи MRC естимацијата на испратениот симбол се добива на следниот начин:
(4.15)  = (hHy)/(hHh) = (hHhx)/(hHh) + (hHn)/(hHh) = x + (hHn)/(hHh)
каде:
(4.16) hH⋅h = Ni = 1|hi|2
 Доколку се претпостави дека шумот има нулта средна вредност и варијанса N0, компонентите на шумот во различни временски интервали се идентично распрепеделени и меѓусебно независни (i.i.d - Independent and Identicaly Distributed) и ES е средната испратена моќност по симбол, од изразот (4.15↑) може да се добие моменталниот однос сигнал-шум на овој систем:
γ = (Es)/(E[(Ni = 1h*ini)2] − \cancelto0E2[Ni = 1h*ini])(Ni = 1|hi|2)2 = (Es)/(N0\cancelNi = 1|hi|2)(Ni = 1|hi|2)\cancel2
(4.17) γ = (Es)/(N0)Ni = 1|hi|2
Доколку средната кврадратна вредности на федингот е: E[|hij|2] = 1, средниот однос сигнал-шум е:
(4.18) γ = E[γ] = N(Es)/(N0) = Nγ0
Каде γ0 = Es ⁄ N0 е средниот однос сигнал-шум на системот со една предавателна и една приемна антена. Од (4.18↑) може да се заклучи дека средниот однос сигнал-шум во систем со N приемни антени во дестинацијата е N пати поголем од средниот однос сигнал-шум од системот со една предавателна и една приемна антена.
 Во исклучителниот труд на С. М. Аламути [17] е покажано дека е можно да се генерира иста вкава добивка со користење на систем со предавателен диверзитет. На сликата 3.2↓ е прикажан таков систем со две предавателни и една една приемна антена.
figure Images/Predavatelen diverzitet so edna granka.png
Figure 3.2 Систем со предавателен диверзитет и една антена во дестинацијата
 Се претпоставува дека влијанието на федингот во каналот е моделиран со комплексен мулипликативен коефициент h0 во едната предавателна антена и со h1 во другата предавателна антена. Се претпоставува дека федингот е константен во два последователни симболи т.е.:
(4.19) h0(t) = h0(t + T) = h0 = α0ejθ0 h1(t) = h1(t + T) = h1 = α1ejθ1
каде T е времетраење на симболот. Во овој случај приемниот сигнал е:
(4.20) r0 = r(t) = h0x0 + h1x1 + n0 r1 = r(t + T) =  − h0x*1 + h1x*0 + n1
каде r0 и r1 се сигналите во приемната антена во моментот t и t + T , a n0 и n1 се комплексни случајни променливи кои го претставуваат шумот во приемникот и интерференцијата.
 Здружувачот (анг. combiner) на слика 3.2↑ ги дава на излез следниве два здружени сигнали кои потоа се испраќаат до детекторот:
(4.21) 0 = h*0r0 + h1r*1 1 = h*1r0 − h0r*1.
Доколку се заменат (4.19↑) и (4.20↑) во (4.21↑) се добива:
0 = α0e − jθ0(α0ejθ0x0 + α1ejθ1x1 + n0) + α1ejθ1( − α0ejθ0x*1 + α1ejθ1x*0 + n1)* = 
 = α20x0 + α0α1ej(θ1 − θ0)x1 + n0α0e − jθ0 + α1ejθ1( − α0e − jθ0x1 + α1e − jθ1x0 + n*1) = 
 = α20x0 + \cancelα0α1ej(θ1 − θ0)x1 + n0α0e − jθ0 − \cancelα1α0ej(θ1 − θ0)x1 + α21x0 + n*1α1ejθ1 = 
(4.22)  = (α20 + α21)x0 + h*0n0 + h1n*1
На сличен начин се добива естимацијата на вториот испратен симбол:
(4.23) 1 = (α20 + α21)x1 − h0n*1 + h*1n0.
Од изразот (4.22↑) односно (4.22↑) може да се добие мометалниот однос сигнал-шум:
(4.24) γ = ((α20 + α21)\cancel2Es)/(\cancel(α20 + α21)N0) = (Es)/(N0)1i = 0|hi|2
 Од (4.24↑) може да се забелеши дека моменталниот однос сигнал-шум на системот со предавателен диверзитет е идентичен со изразот (4.17↑) што се добива со системот со две гранки во дестинацијата кој користи комбинирање со максимален сооднос. Оваа метода воведена од С. М. Аламути потоа ќе се генерализира и ќе стане позната како просторно-временско блоковско кодирање (STBC).

3.3 Модел на каналот

 Во оваа глава ќе анализираме МИМО релејни канали кои ја користат методата на Аламути во три различни системски конфигурации со две делници: 2x1x1 МИМО релеен канал (каде само изворот е екипириан со две антени), 2x2x1 МИМО релеен канал (каде изворот и релето се екипирани со две антени), и 2x2x2 МИМО релеен канал (каде изворот, релето и дестинацијата се екипирани со две антени). На слика 3.3↓ е прикажан 2x2x2 МИМО релеен канал (како најопшта конфигурацја која ги вклучува другите два специјални случаи), каде изворот, релето и дестинацијата се обележани со S, R и D, соодветно. Делниците S-R и R-D се претпоставува дека се независни 2x2 МИМО Релејни канали со содветни канални матрици: H = [h11, h12;h21, h22] и G = [g11, g12;g21, g22]. Елементите hij и gij на овие матрици ги претставуваат каналните коефициенти помеѓу содветните парови од i-та предавателна антена и j-та премна антена, и се смета дека се независни циркуларно-симетрични комплексни Гаусови случајни променливи со нулта средна вредност и единична варијанса. Затоа, квадратот на амплитудата на сигналот пренесен преку каналот hij(gij) ја следи експоненцијалната опаѓачка функција на густина на веројатност [35] со идентични средни кврадратни вредности E[|hij|2] = E[|gij|2] = 1. Предавателните моќности од секоја предавателна антена се сметаат за идентични и еднакви на E. Релето и дестинацијата имаат целосно познавање на CSI зa претходната делница и не постои директна комуникација помеѓу изворот и дестинацијата.
figure Images/ICUMT Dual-hop MIMO system model.png
Figure 3.3 МИМО релеен канал со две делници и две антени во јазлите
 Согласно слика 3.3↑ ќе разгледуваме МИМО полудуплексен релеен канал каде комуникацискиот процес е поделен во две фази (фаза 1 и фаза 2). Изворот S испраќа кон R за време на фазата 1, потоа R испраќа кон D за време на фаза 2. Ќе претпоставиме дека изворот S користи Аламути OSTBC. Поточно, групи од 2 независни симболи ( x1 и x2) се испраќаат преку две предавателни антени (со користење на ортогоналната предавателна матрица [x1, x2; − x*2, x*1]) во два последователни симболни интервали од фазата 1 (симболни интервали 1 и 2). За време на фазата 2, R испраќа два засилени раздвоени симболи за време на сиболните интервали 3 и 4. Во овој контекст се и ознаките во слика 3.3↑ каде подзнакот во ознаките за шумот ni[j], wi[j] означува приемна антена, а индексот во средните загради означува симболен интервал.

3.3.1 2x1x1 МИМО канал со две делници

 За анализа на 2x1x1 системот претпоставуваме дека само една антена во релето и дестинацијата е активна. Во симболните интервали 1 и 2 приемните сигнали во една антена во релето (означени со подзнакот) се дадени со:
(4.25) y1[1] = (Es)(h11x1 + h21x2) + n1[2], 
(4.26) y1[2] = (Es)( − h11x*2 + h21x*1) + n1[2], 
каде n1[1] и n1[2] го означуваат додавачкиот комплексен бел Гаусов шум (AWGN) во симболниот интервал 1 и 2 во релејната антена, и Es е предавателната моќност на секоја од двете предавателни антени во изворот [D]  [D] Се претпоставува дека средна моќност на симболите E[x2i] = 1. Гаусовиот шум има нулта средна вредности и варијанса N0. Со користење на y1[1] и y1[2], релето ги раздвојува испратените симболи x1 и x2 (со мултипликација на примениот сигнал со матрицата за раздвојување [h*11, h21;h*21, h11] ) но при тоа релето не врши детекција (види глава 3.3.2↓). После раздвојувањето релето ги засилува раздвоените симболи \widetildex1 и \widetildex2 со засилувачки фактор A1 и ги испраќа кон дестинацијата преку делницата R-D во симболните интервали 3 и 4.
Оваа релејна метода ја нарекуваме раздвои-и-проследи (DCF) релејна метода. Во споредба со декодирај-и-проследи (DF), DCF методата поедноставно се имплементира, а притоа дава споредливи перформанси (како што ќе биде презентирано во глава 3.5↓). Раздвоените симболи во релето се:
(4.27) \widetildex1 = h*11y1[1] − h21y*1[2] = (Es)Δ1x1 + ξ1, 
(4.28) \widetildex2 = h*21y1[1] − h11y*1[2] = (Es)Δ1x2 + ξ2, 
каде:
Δ1 = ∥H2F = |h11|2 + |h21|2,  ξ1 = h*11n1[1] + h21n*1[2]
(4.29) ξ2 = h*21n1[1] − h11n*1[2].
Во (4.29↑) Δ1 = ∥H2F претставува квадрат на Фробениусовата норма за 2x1 каналниот вектор за S-R делницата, и ξ1 и ξ2 се додавачките гаусови компоненти на шумот кои се со нулта средна вредност и варијанса Δ1N0. После засилувањето, R ги испраќа раздвоените симболи \widetildex1 и \widetildex2 сериски преку една антена кон D во двата последователни симболни интервали 3 и 4. По завршувањето на симболните интервали 3 и 4, приемните сигнали во дестинацијата се:
(4.30) r1[3] = A1g11\widetildex1 + w1[3], 
(4.31) r1[4] = A1g11\widetildex2 + w1[4], 
каде A1 е факторот на засилување на релето, а w1[j] го означува AWGN-от во едната приемна антена во дестинацијата D кој е со нулта средна вредност и варијанса N0.
 Во понатамошното излагање, фактор на засилување и квадратот на Фробениусовата норма на S-R и R-D делниците за секоја системска конфигурација ќе бидат означени со содветен индекс k, т.е., со gk, Δk и Λk,  соодветно. Вредностите на индексот k (k = 1, 2 и 3) означуаат 2x1x1, 2x2x1 и 2x2x2 системски конфигурации, соодветно (слика 3.3↑).
 Имајќи во предвид дека е потребно познавање на CSI за првата делница за имплементација на декодерот на Аламути, во релето R избравме релеен метод со променливо засилување за да го инвертираме ефектот на федингот во делницата S-R со дополнително ограничуање на предавателната моќност на релето доколку сигналот во таа делница е многу ослабнат. Врз база на [6] и [33] и изборот на променливо засилување во релето согласно [6] за 2x1x1 системот го избираме следново засилување:
(4.32) A1 = ((ER)/(EIΔ21 + Δ1N0))
каде EI и ER се предавателните моќности на една антена во изворот S и релето R.
 Во дестинацијата D, приемниот сигнал [35] се пропушта низ прилагоден филтер [36], [37] (бидејќи D ги знае каналните коефициенти во делницата R-D), после што дестинацијата ги детектира двата независни симболи ( \widetildex1 и \widetildex2) во нивните симболни интервали 3 и 4.

3.3.2 Раздвојување за 222 OSTBC за 2x1 систем

 Во оваа глава ќе спроведе анализата4системот разгледуван во глава 3.3.1↑ со користење на линеарна алгебра, што е неопходно за ефикасна имплементација на системот во софтеврските пакети за нумеричка и алгебарска анализа. Векторот кој ги претставува симболите испратени во изворот X и каналната матрица (вектор) H се:
(4.33) X = [ x1 x2 ];  H = [ h11 h21 ];
За разлика од глава 3.3.1↑ во оваа глава заради поедноставна анализа претпоставуваме дека симболите не се со единечна моќност т.е. моќноста E[x2i] = Es. Шумот во делницата од изворот до релето и помошната променлива за шумот се:
(4.34) N = [ n1 n2 ]  Na = [ n1 n*2 ]
Кодна матрица за 2x1 Аламути кодот и нејзината транспонрана матрица се:
(4.35) C =  \itx1 \itx2  − x*2 x*1  CT =  \itx1  − x*2 \itx2 x*1
Еквивалентната виртуелна канална матрица (анг. EVCM - Equivalent Virtual Chаnnel Matrix) (Ω) и нејзината хермитска матрица се дадени со:
(4.36) Ω =  \ith11 h*21 \ith21  − h*11  ΩH =  h*11 h*21 \ith21  − \ith11
Приемниот сигнал во релето е:
(4.37) Y = C.HT + NT =  \itx1 \ith11 + \itx2 \ith21 + \itn1  − x*2\ith11 + x*1\ith21 + \itn2  =  y1 y2
каде индексот i на приемниот сигнал во релето yi го означува симболниот интервал. Модифицираната верзија од сигналот даден со (4.37↑) e:
(4.38) Ya = [ y1 y*2 ] = [ \itx1 \ith11 + \itx2 \ith21 + \itn1;  − \itx2 h*11 + \itx1 h*21 + n*2 ]
Раздвоениот сигнал во релето е:
 = YaΩH = [ y1 y*2 ] h*11 h*21 \ith21  − \ith11  = 
 = [y1h*11 + y*2h21,  y1h*21 − y*2h11] = 
(4.39)  = [ (\ith112 +  \ith212)x1 + n*2\ith21 + \itn1 h*11,  (\ith112 + \ith212)x2 + \itn1 h*21 − n*2\ith11 ]
Компонентата на шумот во раздвоениот сигнал може да се добие и директно без да се пресметува (4.39↑):
(4.40) Θ = NaΩH = [ \itn1 h*11 + n*2\ith21 \itn1 h*21 − n*2\ith11 ]
Модифицираната верзија на приемниот сигнал во релето Ya може да се добие на алтернативен начин со користење на еквивалентната виртуелна канална матрица :
(4.41) Ya = XΩ + Na = [ \itx1 \ith11 + \itx2 \ith21 + \itn1;  − \itx2 h*11 + \itx1 h*21 + n*2 ]

3.3.3 2x2x1 и 2x2x2 МИМО системи со две делници

За овие две системски конфигурации, приемниот сигнал во антената 1 во симболниот интервал 1 и 2 се дадени со:
y1[1] = (Es)h11x1 + (Es)h21x2 + n1[1].
(4.42) y1[2] =  − (Es)h11x*2 + (Es)h21x*1 + n1[2].
Сигналите во антената 2 од релето во симболните интервали 1 и 2 се:
y2[1] = (Es)h12x1 + (Es)h22x2 + n2[1], 
(4.43) y2[2] =  − (Es)h12x*2 + (Es)h22x*1 + n2[2], 
каде ni[j] се AWGN компонентите во првата и втората антена во симболните интервали 1 и 2. Раздвоените сигнали во релето се (види глава 3.3.4↓):
\widetildex1 = h*11y1[1] + h21y*1[2] + h*12y2[1] + h22y*2[2] = 
(4.44)  = (Es)Δ2x1 + η1, 
\widetildex2 = h*21y1[1] − h11y*1[2] + h*22y2[1] − h12y*2[2]
(4.45)  = (Es)Δ2x2 + η2, 
Каде:
(4.46) Δ2 = Δ3 = |h11|2 + |h12|2 + |h21|2 + |h22|2
(4.47) η1 = h*11n1[1] + h21n*1[2] + h*12n2[1] + h22n*2[2], 
(4.48) η2 = h*21n1[1] − h11n*1[2] + h*22n2[1] − h12n*2[2], 
Каде η1 и η2 означуваат циркуларно-симетричен комплексен AWGN со нулта средна вредност и варијансаΔ2N0 = Δ3N0. Сигналите \widetildex1 и \widetildex2 потоа се засилуваат со соодветнот релеен фактор на засилување. Слично на 2x1x1 конфигурацијата, ги земаме во предвид (4.44↑), (4.45↑) и [6] и за 2x2x1 и 2x2x2 системите го избираме следниот фактор на засилување :
(4.49) A2 = A3 = ((ER)/(EI⋅Δ22 + Δ2N0)).
После засилувањето, во симболните интервали 3 и 4 релето R ги испраќа симболите \widetildex1 и \widetildex2 кон дестинацијата со користење на Аламути OSTBC преку неговите две антени. Дестинациата D го раздвојува сигналот примен од R во овие два симболни интервали. Овие раздвоени симболи потоа се испраќаат во детекторот на D, чии перформанси ќе бидат мерени од аспект на OP и EP.
Во случај на 2x2x1 систем раздвоените симболи во дестинацијата се (види глава 3.3.4↓):
(4.50) ^x1 = A2Λ2\widetildex1 + ζ1, 
(4.51) ^x2 = A2Λ2\widetildex2 + ζ2, 
каде:
(4.52) Λ2 = ∥G2F = |g11|2 + |g21|2
(4.53) ζ1 = g*11w1[3] − g21w*1[4].
(4.54) ζ2 = g*21w1[3] − g11w*1[4].
Во (4.52↑) Λ2 = ∥G2F го претставува квадрат на Фробениусовата норма на 2x1 каналниот вектор на делницата R-D, ζ1 и ζ2 се додавачките Гаусови компоненти на шумот со нулта средна вредности и варијанса Λ2N0. Во случај на 2x2x2 МИМО систем раздвоените симболи во дестинацијата се:
(4.55) ^x1 = A3Λ3\widetildex1 + μ1, 
(4.56) ^x2 = A3Λ3\widetildex2 + μ2, 
каде:
Λ3 = ∥G2F = |g11|2 + |g12|2 + |g21|2 + |g22|2
(4.57) μ1 = g*11w1[3] + g21w*1[4] + g*12w2[3] + g22w*2[4], 
(4.58) μ2 = g*21w1[3] − g11w*1[4] + g*22w2[3] − g12n*2[4].
Во изразите (4.57↑) и (4.58↑), μ1 и μ2 означуваат гаусов шум со нулта средна вредност и варијанса Δ3N0 и Δ3 е Фробениусовата норма на 2x2 каналната матрица на делнитцата R-D.

3.3.4 Раздвојување за 222 OSTBC за 2x2 систем

 Во оваа глава анализата на првата делница на системот разгледуван во глава 3.3.3↑ ќе ја спроведеме со користење на линеарна алгебра. Векторот кој ги претставува симболите испратени во изворот X и каналната матрица H се:
(4.59) X = [ x1 x2 ]  H =  \ith11 \ith21 \ith12 \ith22  HT =  \ith11 \ith12 \ith21 \ith22
Шумот во делницата од изворот до релето и помошната променлива за шумот се:
(4.60) N =  \itn11 \itn12 \itn21 \itn22  Na = [ \itn11 n*12 \itn21 n*22 ]
Заради едноставна претстава во облик на матрици и вектори во оваа анализа вториот индекс j за шумот nij го означува симболниот интервал. Во просторно-временскиот код на Аламути [17], два последователни симболи [x1, x2] се мапираат во матрица на кодни зборови C согласно следново мапирање:
(4.61) C =  \itx1 \itx2  − x*2 x*1  CT =  \itx1  − x*2 \itx2 x*1
За разлика од глава 3.3.3↑ во оваа глава заради поедноставна анализа претпоставуваме дека симболите не се со единечна моќност т.е. моќноста E[x2i] = Es. Со оваа дефиниција на матрицата C, редиците означуваат временски диверзитет, а колоните означуваат просторен диверзитет и примениот сигнал после L = 2 употреби на каналот може да се изрази во следнава форма:
(4.62) Y = C.HT + NT =  \itx1 \ith11 + \itx2 \ith21 + \itn11 \itx1 \ith12 + \itx2 \ith22 + \itn21  − x*2\ith11 + x*1\ith21 + \itn12  − x*2\ith12 + x*1\ith22 + \itn22
Еквивалентната виртуелна канална матрицаΩ и нејзината хермитска матрица се:
(4.63) Ω =  \ith11 \mathnormalh*21 \ith12 \mathnormalh*22 \ith21  − \mathnormalh*11 \ith22  − \mathnormalh*12 ΩH =  h*11 h*21 \ith21  − \ith11 h*12 h*22 \ith22  − \ith12
Симболите во првата антена во моментот t и t + Ts, каде Ts е симболниот интервал, се:
(4.64) y11 = \itx1 \ith11 + \itx2 \ith21 + \itn11 y12 =  − x*2\ith11 + x*1\ith21 + \itn12, 
а симболите во втората антена од релето во моментот t и t + Ts се:
(4.65) y21 = \itx1 \ith12 + \itx2 \ith22 + \itn21 y22 =  − x*2\ith12 + x*1\ith22 + \itn22.
каде вториот индекс j во ознаката на приемниот сигнал во релето yij го означува симболниот интервал.
Модифицираната верзија од сигналот даден со (4.37↑) e:
Ya = [Y11, Y*12, Y21, Y*22] = 
 = [\itx1 \ith11 + \itx2 \ith21 + \itn11,  − \itx2 h*11 + \itx1 h*21 + n*12, 
(4.66) \itx1 \ith12 + \itx2 \ith22 + \itn21,  − \itx2 h*12 + \itx1 h*22 + n*22]
Раздвоенот сигнал во релето е:
(4.67)  = Ya.ΩH = [1, 2]
(4.68) 1 = (\it|h11|2 + \it|h21|2 + |\ith12|2 + |\ith22|2)\itx1 + h*11\itn11 + \ith21 n*12 + h*12\itn21 + \ith22 n*22
(4.69) 2 = (\it|h11|2 + \it|h21|2 + \it|h12|2 + |\ith22|2)\itx2 + h*21\itn11 − \ith11 n*12 + h*22\itn21 − \ith*12 n*22
Компонентата на шумот во раздвоениот сигнал може да се добие и директно без да се пресметува (4.39↑):
(4.70) Θ = NaΩH = [ h*11\itn11 + \ith21 n*12 + h*12\itn21 + \ith22 n*22 ;h*21\itn11 − \ith11 n*12 + h*22\itn21 − \ith12 n*22 ]
Модифицираната верзија на приемниот сигнал во релето Ya може да се добие на алтернативен начин со користење на еквивалентната виртуелна канална матрица :
Ya = XΩ + Na = 
(4.71)  = [ x1\ith11 + x2\ith21 + \itn11,  x1h*21 − x2h*11 + n*12,  x1\ith12 + x2\ith22 + \itn21,  x1h*22 − x2h*12 + n*22 ]

3.4 Веројатност на испад

 Веројатноста на испад е дефинирана како веројатност дека моменталниот SNR ќе падне под одреден претходно дефиниран праг - γth:
(4.72) Pout = P(γk < γth) = 1 − P(γk > γth) = 1 − P(1)/(γk) < (1)/(γth)
каде γk го претстаува еквивалентниот крај-крај моментален SNR на релејниот канал со две делници. Вредностите на индексот k (k = 1, 2 or 3) означуваат 2x1x1, 2x2x1 и 2x2x2 системски конфигурации, соодветно (слика 3.3↑). Подолу ќе гo изведеме крај-крај односот сигнал-шум за 2x1x1, 2x2x1, и 2x2x2 релеен канал со две делници. За 2x1x1 МИМО систем, ако се земат во предвид (4.27↑) и (4.30↑) приемниот сигнал ов дестинацијата во симболниот интервал 3 е:
(4.73) r1[3] = A1g111 + w1[3] = A1g11((Es)Δ1x1 + ξ1) + w1[3] = 
(4.74)  = A1g11(Es)Δ1x1 + A1g11ξ1 + w1[3].
Соодветниот премен сигнaл во симболниот интервал 4, r1[4], го опфаќа симболот x2, но дава ист крај-крај однос сигнал-шум. Затоа, следново изведување на крај-крај односот сигнал-шум се однесува на двата симболи. Моменталната моќност на сигналот е:
(4.75) Ps = |A1g11(Es)Δ1|2 = EsA21|g11|2⋅Δ21
и моменталната моќност на шумот е:
(4.76) PN = |A1g11|2(|h11|2N0 + |h21|2N0) + N0 = A21|g11|2Δ1N0 + N0.
Оттука крај-крај моменталниот однос сигнал-шум на влез од детекторот од D за 2x1x1 за релеен канал со две делници е:
(4.77) γ1 = (Ps)/(PN) = (Es)/(N0)(A21|g11|2Δ21)/(A21|g11|2Δ1 + 1).
каде индексот 1 воγ1 се однесува на 2x1x1 системска конфигурација.
За 2x2x1 МИМО систем, ако го замениме (4.44↑) во (4.50↑) се добива:
(4.78) ^x1 = A2Λ2Δ2(Es)x1 + A2Λ2η1 + ζ1.
Ако се следат истите чекори како во (4.75↑)-(4.77↑) почнувајќи од (4.78↑) лесно се покажува дека моменталнот крај-крај однос сигнал-шум за 2x2x1 систем е:
(4.79) γ2 = (Es)/(N0)(A22Λ2Δ22)/(A22Λ2Δ2 + 1), 
На сличен начин може да се покаже дека за 2x2x2 систем крај-крај SNR-от е:
(4.80) γ3 = (Es)/(N0)(A23Λ3Δ23)/(A23Λ3Δ3 + 1).
За полесна математичка анализа на релејниот канал со две делници, ќе ги апроксимираме A1, A2 иA3 од (4.32↑) и (4.49↑) со [6]:
(4.81) Ak(1)/(Δk).
Со промена на (4.81↑) во (4.77↑),(4.79↑) или (4.80↑) се добива апроксимативниот моментален крај-крај SNR - γk во следнава форма:
(4.82) wk = (1)/(γk) = (1)/(γ⋅Δk) + (1)/(γ⋅Λk) = uk + vk, 
каде γ = Es ⁄ N0 е средниот однос сигнал-шум, Uk = 1 ⁄ (γΔk) и Vk = 1 ⁄ γΛk. Имајќи во предвид дека моменталната моќност на каналот ја следи експоненцијалната дистрибуција, Δk ја следи гама дистрибуција:
(4.83) f(x) = (xα − 1)/(θαΓ(α))e( − x)/(θ), for x ≥ 0,  ∧ α, θ > 0, 
со единечен параметар на размерθ = 1 и параметар на облик α. Бидејќи E[|hij|2] = E[|gij|2] = 1, функциите на густина на веројатност на квадратот на Фробениусовата норма за разгледуваните конфигурации се:
(4.84) fΔ1(x) = (x)/(Γ(2))e − x,  fΔ2(x) = fΔ3(x) = (x3)/(Γ(4))e − x,  x ≥ 0, 
(4.85) fΛ1(x) = e − x,  fΛ2(x) = (x)/(Γ(2))e − x, x ≥ 0 fΛ3(x) = (x3)/(Γ(4))e − x,  x ≥ 0, 
Со користење на функционална трансформација на случајните променливи uk = 1 ⁄ (γ⋅Δk) и vk = 1 ⁄ (γ⋅Λk) може да се пoкаже дека тие ја следат инверзната гама функција на густина на веројатност:
(4.86) f(x) = (x − α − 1)/(γαΓ(α))e( − 1)/(xγ),  for x > 0, ∧α, θ > 0, 
со параметар на размер еднаков на 1 ⁄ γ , затоа, нивните функции на густина на веројатност се дадени со:
(4.87) fU1(x) = (x − 3)/(γ2Γ(2))e − (1)/(xγ),  fU2(x) = fU3(x) = (x − 5)/(γ4Γ(4))e − (1)/(xγ)
(4.88) fV1(x) = (x − 2)/(γ)e( − 1)/(xγ) fV2(x) = (x − 3)/(γ2Γ(2))e − (1)/(xγ) fV3(x) = (x − 5)/(γ4Γ(4))e( − 1)/(xγ),  x > 0, 
Со помош на [38] лесно се наоѓа дека функцијата за генерирање на моменти (MGF) за случајните променливи Uk и Vk е:
(4.89) M( − s) = (2)/(Γ(α))(s)/(γ)(α)/(2)Kα(2((s)/(γ))), 
каде α го означува производот на предавателни антени и приемни антени NTxNRза дадената делница и Kα означува Беселова функција од втор тип и α-ти ред . Ако се земе во предвид (4.89↑) соодветните MGF-и за Uk и Vk за 2x1x1, 2x2x1 и 2x2x2 МИМО релеен канал се:
(4.90) MU1( − s) = (2)/(Γ(2))(s)/(γ)K2(2((s)/(γ))),  MU2( − s) = MU3( − s) = (2)/(Γ(4))(s)/(γ)2K4(2((s)/(γ)))
(4.91) MV1( − s) = 2((s)/(γ))K1(2((s)/(γ))),  MV2( − s) = (2)/(Γ(2))(s)/(γ)K2(2((s)/(γ)))
(4.92) MV3( − s) = (2)/(Γ(4))(s)/(γ)2K4(2((s)/(γ))).
Со оглед на тоа дека првата и втората делница во релејниот канал се под влијание на независен Рејлиев фединг, Uk и Vk се независни случајни променливи и MGF-от од нивната сумa е производ од нивните MGF-и:
(4.93) Mw1 = (4)/(Γ(2))(s)/(γ)(3)/(2)K2(2((s)/(γ)))K1(2((s)/(γ))), 
(4.94) Mw2( − s) = (4)/(Γ(4)Γ(2))(s)/(γ)3K4(2((s)/(γ)))K2(2((s)/(γ))), 
(4.95) Mw3( − s) = (4)/(γ2(4))(s)/(γ)4(K4(2((s)/(γ))))2
Со оглед на тоа што го имаме MGF-от на wk = 1 ⁄ γk за анализираните релејни канали со две делници можеме да ја најдеме OP со користење на [35]:
(4.96) P(γk < γth) = 1 − ℒ − 1(Mwk( − s))/(s)||1 ⁄ γth, 
што претставува веројатност дека моменталниот крај-крај SNR ќе падне под претходно одреден прагγth. Операторот  − 1 означува инверзна Лапласова трансфомација. Со користење на (4.93↑), (4.94↑) и (4.95↑) и Ојлеровата техника за нумеричка инверзија на Лапласовата трансформација, веројатноста на испад за сите три системски конфигурации може да се пронајде нумерички [35] , [53]. Покрај тоа, може да се најдат точните изрази во затворена форма за OP за 2x2x2 системската конфигурација. Од [54] може да се најде инверзната Лапласова трансформација за изразот во заградите во (4.95↑):
(Γ2(4)γ4)/(2)⋅ℒ − 1(Mw3( − s))/(s4) = ℒ − 1[2(K4(((2s)/((γ)/(2)))))2]
(4.97)  = (1)/(w3)e( − 2)/(γw3)K4(2)/(γw3).
Со користење на [34] OP може да се изрази како трет извод од инверзната Лапласова трансформација од количникотMw3( − s) ⁄ s4:
P(γ3 < γth) = 1 − (d3)/(dw33) − 1(Mw3( − s))/(s4)||w3 = (1)/(γth) = 
(4.98) 1 − (2)/(γ2(4)γ4)(d3)/(dw33)(e( − 2)/(γw3))/(w3)K4(2)/(γw3)||w3 = (1)/(γth).
Изразот (4.98↑) може да се најде во затворена форма со користење на формулата за извод од модифицирана Беселова функција [39] или со користење на систем за компјутерска алгебра [E]  [E] На пример: Maxima, Maple Soft Maple\textsuperscript® или Wolfram Mathematica\textsuperscript®. . Во глава 4.3↓ ќе бидат прикажани многу точни апроксимации на веројатноста на испад кои можат да се користат наместо точниот израз (4.98↑).

3.5 Нумерички и симулациски резултати

 Во оваа глава за системот од 3.3↑ ќе ги споредиме резултатите за OP добиени со теоретската анализа во 3.4↑ со резултатите што се добиваат со Mонте-Карло симулации. За симулациите избравме бинарна фазна модулација (BPSK). Резултатите за анализираните системски конфигурации ќе ги споредиме со:
- резултатите за релеен канал со две делници и една по јазол со променливо засилување во релето како горна граница, и
- резултатите за точка-точка канал со приемен диверзитет со 4 антени и комбинирање со максимален сооднос (MRC) во дестинацијата како долна граница.
figure Images/ICUMT10 Fig.4_Pout_of_2xMxL_HD_3.png
Figure 3.4 Споредба на теориските и симулациските резултати за OP за 2x1x1, 2x2x1 и 2x2x2 DCF систем(γth = 5dB)
 Покрај тоа за системот од глава 3.3↑ ќе извршиме анализа на резултатите за BEP добиени со Монте-Карло симулации и ќе ги споредиме со BEP резултатите за претходно наведените референтни системи за споредба.
 Обично, во апликациите од реалнoста предавателната моќност на јазлите е ограничена. Од тие причини вo симулациите ќе ја ограничиме предавателната моќност. Со цел да имаме идентична вкупна предавателна моќност од две предавателни антени со моќноста на една антена, енергијата алоцирана на секој симбол се дели со 2 [F]  [F] Во општ случај, кога се користат OSTBC кои не се со цела брзина како што е случај за Аламути кодот, тогаш за да се задоволи ограничувањето на вкупна моќност, моќноста по симбол се зема да биде согласно 5.46↓.. Од тие причини резултатите ќе бидат дадени во зависност од вкупниот среден однос сигнал-шум ρ кој заради употребата на две антени и OSTBC код со единечна брзина е двојно поголем од средниот однос сигнал-шум т.е.: ρ = 2⋅γ.
 На слика 3.4↑ се споредени резултатите добиени со Монте-карло симулација и теоретските резлутати за OP за разгледуваните системски конфигурации. Со цел на подобра споредба на истата слика се прикажани резултатите за точка-точка канал со една антена (означен со: 1x1), релеен канал со две делници и една антана (означен со: 1x1x1), точка-точка 2x1 систем и точка-точка 2x2 систем. На истата слика се претставени резултатите од теоретската анализа (означени со “th”) добиени врз основ на (4.96↑). Од сликата се гледа дека за резултатите за веројатноста на испад добиени со користење на нумерички пристап во (4.96↑) се идентични со резултатите добиени со Монте Карло симулација. Освен тоа, од слика 3.4↑ јасно е дека 2x1x1 системот има слични OP перформанси како 1x1x1 системот. OP перформансите за 2x2x1 и 2x2x2 системтие се подобри од перформансите на 1x1x1 за 16dB и 25dB на OP од 10 − 3. Сепак овие два системи покажуваат послаби OP перформанси во споредба со точка-точка 2x1 и 2x2 системите од 0dB до 4dB.
figure Images/ICUMT10 Fig.2_BER_of_2xMxL.png
Figure 3.5 BEP за DCF систем со две антени добиени со Монте Карло симулација
 Резултатите за BEP добиени со симулација за 2x1x1, 2x2x1, и 2x2x2 системите се дадени на слика 3.5↑. Од сликата 3.5↑ може да се забележи дека за 2x2x1 МИМО каналот добиваме добивка од диверзитет од 16dB на BEP од 10 − 4 во споредба со 1x1x1 системот, а за 2x2x2 МИМО каналот имаме добивка од 23dB на BEP of 10 − 4. Тие резултати се слични со добивката од диверзитет за за точка-точка МИМО системите добиени во [17]. На слика 3.6↓ е дадена споредба на BEP за не-регенеративниот DCF систем со BEP перформансите на регенеративниот декодирај-и-проследи (DF) систем. DF системот има занемарливо подобри перформанси од DCF системот. Разликата во перформанси се зголемува како бројот на приемни антени во релето и дестинацијата се зголемува и среднот однос сигнал-шум се намалува.
figure Images/ICUMT10 Fig3.MAFvsDF.png
Figure 3.6 Споредба на BEP за DCF и DF системите
figure Images/ICUMT10 Fig.5_ber2x1x1_Comarisson_HD.png
Figure 3.7 Споредба на 2x1x1 DCF, FB-VG, и FG системи
 На слика 3.7↑ се прикажани BEP пеформансите за 2x1x1 DCF систем кој користи полу-слепо реле со фиксно засилување (4.9↑):
(4.99) A = (e(1)/(γ)E1(1)/(γ))
 BEP перформансите на овој систем се споредуваат со перформансите со систем со повратна спрега и променливо засилување (FB-VG) т.е. систем со формирање на зрак (анг. Beamforming) во предавателните антени на релето. Kaj FB-VG системот потребно е изворот да поседува CSI за каналот меѓу изворот и релето. Таа информација се обезбеува со повратната спрега. Од сликата може да се забележи дека FB-VG системот има подобри перформанси од FG и DCF системот. DCF покажува најлоши BEP перформанси. Сепак, FG и FB-VG системите имаат свои предности и недостатоци. Во FG системот релето работи со методата на засили-и-проследи што многу лесно се имплементира. Сепак тоа подразбира поголема сложености и цена во дестинацијата бидејќи таа треба во целост да имплементира Аламути декодер и има целосно знаење на каналните коефициенти во првата и втората делница. Во FB-VG системот релето има поголема сложеност и цена бидејќи тоа треба да ги естимира каналните коефициенти во вторатаделница со цел да ги компензира варијацииите на амлитудата и фазата на каналот во втората делница со множење на предавателниот сигнaл со естимираниoт коефициент. Освен тоа дестинацијата треба да ги естимира каналните коефициенти од првата делница, т.е. крај-крај каналните коефициенти и да имплементира Аламути декодер. Земајќи ги во предвид поголемата комплексност и цена на FG и FB-VG системите, сметаме дека DCF системот постигнува најдобар однос перформанси/цена.
 Од друга страна добивката на перформансите на 2x1x1 DCF системот не доволно вредна во споредба со трошоците за имплементација, бидејќи овој систем има слични перформанси со 1x1x1 системот. Употребата на 2x2x1 системот дава значително подобрување на перфомансите во споредба со системите со две делници и една антена во изворот, релето и дестинацијата. Сметаме дека ова е нај-изводлива конфигураација во идната инфраструктурна кооперација. На пример, една можна 2x2x1 конфигурација е каде изворната базна станица има две антени, кооперативната базна станица која се однесува како реле има две антени и мобилната станица има една антена. 2x2x2 системот дава најдобри BEP и OP перформанси, сепак неговата употреба во идните безжични комуникациски ситеми изгледа помалку веројатна.
\rightmark
\thepage
\sloppy

4 Перформанси на МИМО релеен канал со повеќе антени по јазол

 Во оваа глава ќе ги го анализираме EP (глава 4.2↓) и OP (глава 4.3↓) за AF МИМО релејните ситеми. Дополитено во глава 4.4↓ ќе се анализараат перформансите на AF МИМО релејните канали со директна патека до дестинацијата.
 Има многу научни трудови кои се однесуваат на AF МИМО релејните канали. Некои се фокусираат на релеите со една антена ([40]-[43]) и некои на релеите со повеќе антени ([20], [44]-[48]). Трудот [40] обезбедува апроксимативна и асимптотска анализа на битската веројатност на грешка (BEP) за дистрибуирани просторно-временски кооперативни системи со една антена во изворот, два релеа со една антена, и дестинација со една антена. BEP анализа за дво-делнични МИМО системи кои користат OSTBC пренос со повеќе антенски извор, дестинација со една/повеќе-антени и реле со една антена е спроведена во [41] и [42]. Трудот [43] се фокусира на пронаоѓање на точна затворена форма и асиптотски изрази за перформансите за испад и грешка во релеен канал со една антена каде изворот и дестинацијата имаат повеќе антени со користење на OSTBC пренос и Накагами-м фединг. Анализата во [20] ја дополнува анализата во [42] за AF МИМО релејни канали кои користат OSTBC пренос и кај кои изворот, релето, и дестинацијата имаат по две антени. Трудот [44] ја проширува анализата во [42] и [20] со анализа на горната граница на BEP за извор, реле и дестинација со повеќе антени. Трудот [45] обезбедува анализа на перформансите на грешка за AF МИМО релеен канал претставен во [44] каде секој од јазлите е екипиран со N антени. Исто така, во него е дадена анализа за асиптотската веројатност на грешка и споредба на AF МИМО релејните канали со повеќе МИМО релеи со и без избор на реле за препраќање. Во трудот [47] е анализирана долната граница на перформансите на грешка во дистрибуиран просторно-временски блок систем на кодирање во кој постои директен линк помеѓу дво-антенскиот извор и дестинција и индиректен линк преку повеќе-антенско реле. Авторите на [48] обезбедуваат детална анализа на перформансите на дво-делничен AF МИМО релеен канал кој користи OSTBC каде секој од јазлите има повеќе антени и има развиено точни изрази во затворена форма за веројатноста на грешка за одредени конфигурации на системот.
 Освен за BEP има многу трудови кои ги разгледуваат OP перформансите на AF МИМО релејните канали. Во Трудот [41] авторите презентираат перформанси на грешка и испад за кооперативните релејни канали со диверзитет на предавателот со и без пренос преку директен линк. Во трудот [49] авторите презентираат изрази во затворена форма за веројатноста за испад на кооперативен МИМО релеен канал во кој изворот и релето користат OSTBC пренос, додека релето и дестинацијата во приемникот користат комбинирање со максимален сооднос (MRC). Трудот [46] дава точни изрази и граници во затворена форма за веројатноста за испад за AF МИМО релеен канал со користење на OSTBC каде секој од неговите јазли е екипиран со две антени преку Накагами-m фединг околина.
 Горе споменатите трудови за имплементација на AF МИМО релеен канал ([20], [42]-[48]) користат варијанта на засили-и-испрати (AF - Amplify and Forward) релејна шема наречена раздвои-и-испрати (DCF) која што неодамна беше предложена во [20]. DCF е техника за линеарно процесирање со која релето конвертира повеќе просторни поворки од примениот OSTBC сигнал во една просторна поворка без декодирање на симболите. Како резултат на овој линеарен процес на раздвојување, доколку каналскиот шум се занемари, естимацијата од испратениот симбол може математички да се изрази како продукт од испратениот симбол и сумата од квадратите од модулите на коефициентите на МИМО каналот. Откако релето ќе го раздвои OSTBC сигналот примен од изворот тој повторно ги кодира раздвоените симболи со коритење на OSTBC, ги засилува и испраќа преку делницата од релето до дестинацијата.

4.1 Модел на каналот

 Во оваа глава ќе се анализираат перформансите на дво-делничниот релеен канал (кој се состои од извор, реле и дестинација), со повеќе антени и јазли кои користат OSTBC пренос (слика 4.1↓). Ќе се разгледуваат две системски конфигурации: Nx1xN конфигурација, во која изворот и дестинацијата се екипирани со NT = NR = N антени [G]  [G] nT- број на предаватени антени во изворот, nR-број на премни антени во дестнацијата, а релето со една антена и NxNxN конфигурација, каде изворот, релето и дестинацијата се екипирани со N антени. Се претпоставува дека нема просторна корелација меѓу сигналите испратени или примени во различни антени. Во AF релето се врши засилување со променлив фактор на засилување (VG) на влезниот сигнал, за што е потребно релето да има информација за моменталната состојбата на каналот (CSI) во делницата од изворот до релето [6]. Исто така се претпоставува дека дестинацијата ја има информацијата за состојбата на каналот за делницата од релето до дестинацијата.
 На слика 4.1↓ е претставен двo-делничнниот МИМО систем (како најгенерална конфигурација која ги вклучува двете разгледувани конфигурации како специјален случај), каде изворот, релето и дестинацијата се обележани со S, R и D, соодветно. Релејниот канал е обележан како Nx1xN во случај кога релето R има една антена и NxNxN кога релето R има N антени. Делниците S-R и R-D се моделирани како независни МИМО релејни канали со канални матрици H и G. Елементите hijи gij од овие матрици се каналните коефициенти помеѓу i-та предавателна антена и ј-та приемна антена, кои се сметаат како независни циркуларно-симетрични комплексни Гаусови случајни променливи со нулта средна вредност и единична варијанса. Затоа, квадратот од анвелопата од сигналот испратен преку каналот \strikeout off\uuline off\uwave offhij (gij) ја следи опаѓачката експоненцијална функција на густина на веројатност\uuline default\uwave default [35] со исти средни кврадратни вредности E[|hij|2] = E[|gij|2] = 1. Изворот S испраќа со моќност P и нема директната комуникација меѓу изворот и дестинацијата. Употребуваните OSTBC кодови се означуваат како кодови со три цифри, NKL, каде N е бројот на антени, K е бројот на кодни симболи испратени во еден коден блок, и L претставува број на потребни временски слотови за испраќање на еден коден збор [50].
figure Images/Fig3.1.png
Figure 4.1 МИМО релеен канал со две делници.
 Претпоставуваме дека комуникацискиот систем работи во полу-дуплексен мод, поделен во две фази (фаза 1 и фаза 2). Изворот S испраќа кон релето R за време на фаза 1, потоа R испраќа кон дестинацијата D за време на фаза 2. Под претпоставка дека изворот S користи OSTBC во фаза 1, група од K информациски симболи X = [x1,  x2,  ..xK]T се пренесуват преку N предавателни антени во L последователно временски интервали. За време на фаза 2 релето на Nx1xN системот ги раздвојува, засилува и испраќа K-те примени симболи кон дестинацијата. Во случај на NxNxN систем, за време на фаза 2 релето ги раздвојува, засилува, OSTBC кодира и испраќа K-те примени симболи кон дестинацијата. Приемниот сигнал во една антена во релето на крај од фазата 1 е:
(5.1) Y = (ES) C H + N ,   Y = [y1,  y2,  …yL]T , 
каде C е L\rmxN кодната матрица од OSTBC кодот, H = [h1,  h2,  ..hN]T е N\rmx1 каналниот вектор на S-R делницата и N = [n1,  n2,  ..nL]T е L\rmx1 вектор кој го претставува Гаусовот бел шум (AWGN) на S-R делницата чии елементи имаат нулта средна вредност и варијанса N0.
Операторот T во суперскриптот означува опeрација на транспонирање на матрица, и ES е средната испратена моќност по симбол. Во [51] е покажано дека изразот за раздвоен симбол во една антена во релето е:
(5.2) k =  (ES)\rm H2F xk + ξk,   k = 1, 2, ..K , 
каде H2F =  Ni = 1|hi|2 е квадрат од Фробениусовата норма на матрицата H, ξ е гаусовиот шум претставен како комплексна случајна променлива со нулта средна вредност и варијанса \strikeout off\uuline off\uwave offH2F N0. Во случајот каде релето има \uuline default\uwave defaultN\strikeout off\uuline off\uwave off антени (\uuline default\uwave defaultNxNxN\strikeout off\uuline off\uwave off систем), раздвоениот симбол во релето повторно може да се претстави со изразот \uuline default\uwave default(5.2↑) каде H2F =  Ni = 1Nj = 1|hij|2 [H]  [H] Претпоставуваме дека каналната матрица H е нормализирана т.е. E[H2F] = NRxNT = N2.. Раздвоениот симбол k за да се запази ограничувањето на моќност во релето се засилува со следниов фактор на засилување [16]:
(5.3) A = ((ER)/(EIH4F + H2F N0)).
каде енергијата на испратените симболи од изворот (EI) и релето (ER) се исти т.е. EI = ER = Es. За Nx1xN системот дестинацијата D ги комбинира примените сигнали од повеќето антени со користење на комбинирање со максимален сооднос (MRC). Со цел фер споредба на двата системи, се претпоставува иста предавателна моќност во релето во двете системски конфигурации. Затоа, за Nx1xN системот треба да се нормализира засилувањето на релето дадено со изразот (5.3↑) со фактор на нормализација c кој ќе ја зголеми предавателната моќност пропорционално со бројот на предавателни антени во S. Ако се земе тоа во предвид и ако за полесна аналитичка анализа се апроксимира изразот (5.3↑) засилувањењето на релето може да се претстави со:
(5.4) A ≈ (1)/((b) H2F) .
каде b е фактор за нормализација на моќност. Во изразот (5.4↑) избираме b = c за Nx1xN и b = 1 за NxNxN систем.
Раздвоениот симбол во дестинацијата D е:
(5.5) k = A G2F k + μk,   k = 1, 2, …K
каде G\rm2\rmF = Ni = 1|gi|2 и G\rm2\rmF = Ni = 1Nj = 1|gij|2 се соодветните Фробениусови норми на каналната матрица G за Nx1xN и NxNxN системи, и μ е комплексна случајна променлива која го претставува белиот Гаусов шум (AWGN) со нулта средна вредност и варијанса G\rm2\rmF\rm N0. Доколку се замени (5.2↑) во (5.5↑) ќе се добие изразот кој ги претставува раздвоените симболи во дестинацијата D за Nx1xN и NxNxN конфигурациите :
k = (Es) A H2F G\rm2\rmF xk + A G\rm2\rmF ξk + μk .
Моќностите на корисниот сигнал и на шумот се:
(5.6) PS = Es A2 H4FG\rm4\rmF ,  PN = A2 G\rm4\rmFH2FN0  + G\rm2\rmF N0  .
Затоа, односот сигнал-шум по информационен симбол за двата системи е:
(5.7) γ = (PS)/(PN) = (Es)/(N0)(A2 G\rm2\rmF H4F)/(A2 G\rm2\rmF H2F + 1) .

4.2 Веројатност на грешка

 Во оваа глава, ќе дадеме апроксимаци на битските перформанси на дво-делничен DCF релеен канал, кој се состои од извор, DCF полу-дуплексно реле и дестинација, екипирани со повеќе антени кои користат OSTBC пренос во Рејлиева фединг околина. Слична апроксимативна BEP анализа за AF МИМО релејните сисеми е дадена во [44]. Сепак, во оваа докторска теза се доаѓа до едноставни универзални апроксимации за веројатноста на грешка на овие системи, кои се покажува дека се многу точни во SNR опсези кои се од практичен интерес. Во нумеричките резултати на оваа глава ќе ги споредиме резултатите добиени со нашите апроксимации со резултатите добиени во [44].
 Продолжението на оваа глава е согласно следниов редослед. Во наредната глава ќе изведеме изрази во затворена форма за многу прецизна апроксимација на веројатноста на грешка. Во глава 4.2.2↓ ќе презентираме дополнителни едноставни асиптотски апроксимации на веројатноста на грешка кои се валидни за висок однос сигнал-шум и нумеричките резултати се презентирани во глава 4.2.4↓.

4.2.1 Апроксимација на EP за произволен однос сигнал-шум

 Кумулативната функција на веројатност (CDF) за случајната променлива γ се пресметува со наоѓање на инверзна Лапласова трансформација на нејзината функција за генерирање на моменти (MGF) [35]:
(5.8) F\itΓ(γ) = ℒ\rm − 1[\rmM\itΓ\rm( − s) ⁄ \rms] , 
каде \rm − \rm1означува инверзна Лапласова трансформација, и γ е моменталнот SNR на сигналот во дестинацијата D. Со замена на (5.4↑) во (5.7↑) моменталниот крај-крај SNR (γ) за двата системи може да се претстави во следнава форма [42]:
(5.9) W = 1 ⁄ \itΓ = 1 ⁄ (γH2F) + b ⁄ (γG2F) = U + V , 
каде W = 1 ⁄ \itΓ, U = 1 ⁄ (γH2F), V = b ⁄ (γG2F), γ = Es ⁄ N0 = cρ е средниот SNR по симбол и ρ е вкупниот среден SNR во дестинацијата пред декодирањето. Изразот (5.9↑) важи за Nx1xN доколку се замени b = c и за NxNxN систем доколку се замени \strikeout off\uuline off\uwave offb = 1. Со оглед на тоа што моменталната моќност на каналните коефициенти ја следи експоненцијалната функција на густина на веројатност, \uuline default\uwave defaultH\rm2\rmF и G\rm2\rmF ја следат гама функцијата на густина на веројатност:
(5.10) f(x) = (xα − 1)/(θαΓ(α)) e − (x)/(θ) ,  \rmза x > 0,  \rm и α, θ > 0, 
со параметар за размер θ = 1 [I]  [I] Имајќи во предвид дека E[|hij|2] = E[|gij|2] = 1. и параметар за облик α = m = m1 = m2. Имајќи го тоа во предвид, функцијата на густина на веројатност на квадратот од Фробениусовата норма е:
(5.11) f\rmH\rm2\rmF(x) = (xm1 − 1)/(Γ(m1)) e − x ,  f\rmG\rm2\rmF(x) = (xm2 − 1)/(Γ(m2)) e − x, 
каде x > 0, m = m1 = m2 = N за Nx1xN системот и m = m1 = m2 = N2 за NxNxN системот. Со функционална трансформација на случајните променливи U = 1 ⁄ (γ\rmH2F) и V = b ⁄ (γ\rmG\rm2\rmF\rm) се добиваат соодветните функции на густина на веројатност:
(5.12) fU(x) = (x − m − 1)/(γm⋅Γ(m)) e − (1)/(x γ) ,    fV(x) = (bmx − m − 1)/(γm⋅Γ(m)) e − (b)/(xγ) .
Со користење на [38] лесно се наоѓаат функциите за генерирање на моменти за U и V:
(5.13) MU( − s) = (2)/(Γ(m)) (s ⁄ γ)(m)/(2)Km(2(s ⁄ γ)),  MV( − s) = (2 bm ⁄ 2)/(Γ(m)) (s ⁄ γ)(m)/(2)Km(2 (b s ⁄ γ)), 
каде Km [38] е модифицирана Беселова функција од втор тип од m-ти ред. Бидејќи S-R и R-D делниците се предмет на независен Рејлиев фединг, U и V се независни и функцијата за генерирање на моменти од нивната сума е производ од нивните MGF-и:
(5.14) MW( − s) = (4⋅(bm))/(Γ\rm2(m))(s)/(γ)mKm(2( (s)/(γ)))Km(2( (b s)/(γ))) .
За Nx1xN систем конфигурација, MGF од 1 ⁄ Γ е изразен како (5.14↑), каде m = N и b = c, додека, за NxNxN систем конфигурацијата, m = N2 и b = 1. Kумулативната дистрибутивна функција на случајната променлива \itΓ се добива согласно [53]:
(5.15) F\itΓ(γ)  = 1 − ℒ − 1[Mw( − s) ⁄ s]|w = 1 ⁄ γ .
Лесно може да се покае дека (m − 1)-от извод од L − 1[Mw( − s) ⁄ sm] е еднаков на  − 1[Mw( − s) ⁄ s] и затоа (5.15↑) може да се претстави во следнава форма [42]:
(5.16) F\itΓ(γ) = 1 − dm − 1L(w) ⁄ d wm − 1|w = 1 ⁄ γ , 
каде:
(5.17) L(w) = ℒ − 1[Mw( − s) ⁄ sm] .
Со користење на [54] L(w) функцијата за MGF-от даден со (5.14↑) може да се претстави во следнава форма:
(5.18) L(w) = (bm ⁄ 2 e −  (b + 1)/(γ w))/(w Γ\rm2(m) γm) Km((b))/(γ w) , 
каде Km е модифицирана Беселова функција од втор тип. Со замена на (5.18↑) во (5.16↑) CDF-от за дадена вредност на N може да се добие во затворена форма за двете конфигурации на системот. PDF-от на крај-крај SNR-от може да се најде со вадење на извод од CDF-от даден со (5.16↑) т.е. f\itΓ(γ) = dF\itΓ(γ) ⁄ dγ. Во случај N = 2 CDF-от и PDF-от можат лесно да се најдат во затворена форма со користење на формулата за извод од модифицирана беселова функција [39] ([42] [20]). За поголеми вредности од N многу е тешко да се најде израз во затворена форма за функцијата на густина на веројатност, а уште потешко е наоѓањето на израз во затворена форма за средната веројатност на грешка со користење на MGF пристапот даден во [35]. Затоа е потребно користење на апроксимативни методи. Со цел да се реши (5.16↑) во затворена форма, го апроксимиравме Km со користење на [38]. За мали вредности на променливата z → 0, бесконечната сума во [38] може да се занемари и да се задржи само конечната сума т.е:
(5.19) Km(z) ≈ (1)/(2)(2)/(z)mm − 1k = 0( − 1)k((m − k − 1)!)/(k!)(z)/(2)k .
Со комбинирање на (5.18↑) и (5.19↑) во (5.16↑) се добива следната апроксимација на кумулативната дистрибутивна функција:
(5.20) F\itΓ\rma(γ)  ≈ 1 − (bm ⁄ 2)/(Γ\rm2(m) γm)m − 1k = 0( − 1)k ⋅((m − k − 1)!)/(k!) (dm − 1)/(d wm − 1)(exp − (b + 1)/(γ w))/(w) ⋅(γ w)/((b))m − 2 k|||w = 1 ⁄ γ  .
Со решавање на математичките операции во (5.20↑) може да се покаже дека апроксимативниот израз за кумулативната дистрибутивна функција за Nx1xN и NxNxN системите е:
(5.21) F\itΓ\rma(γ)  ≈ 1 + (1)/(Γ(m))m − 1k = 0m − 1n = 0(( − 1)m + k + nΓ(m − k)(2 k + n − m + 1)m − n − 1)/(Γ(m − n)) ((b + 1)n bk )/(Γ(k + 1) Γ(n + 1))(γ)/(γ)n + 2 k⋅exp − ((b + 1)γ)/(γ) .
каде (...)... претставува Почхамеров симбол. Со користење на лапласова трансформација M\itΓ\rma( − s) = s⋅ℒ[F\itΓ\rma(γ)] може да се добие функцијата за генерирање на моменти (MGF) за случајната променлива γ [35]):
(5.22) M\itΓ\rma( − s)  ≈ 1 + (1)/(Γ(m))m − 1k = 0m − 1n = 0(( − 1)k + m + nΓ(m − k)Γ(n + 2 k + 1))/(Γ(k + 1)Γ(n + 1)Γ(m − n)) ((2 k + n − m + 1)m − n − 1(b + 1)nbksγ)/((sγ + b + 1)n + 2 k + 1) .
Со вадење на извод од F\itΓ\rma(γ) во (5.21↑) или со помош на инверзна лапласова трансформација од M\itΓ\rma( − s) во (5.22↑) се добива функцијата за густина на веројатност (PDF) од γ:
(5.23) \itf\itΓ\rma(γ)  ≈ (1)/(Γ(m))m − 1k = 0m − 1n = 0(( − 1)k + m + n Γ(m − k) (2 k + n − m + 1)m − n − 1)/(Γ(k + 1)Γ(n + 1)Γ(m − n)) ((b + 1)n bk [γ (n + 2 k) − (b + 1) γ] γn + 2 k − 1)/(γn + 2 k + 1)⋅exp − ((b + 1)γ)/(γ) .
Изразот (5.21↑) може да се користи за да се добие средната веројатност на грешка, врз база на пристапот во [55]. Во согласност со [55] средната веројатност на грешка е дадена со:
(5.24) Pe = 0FΓ(x2)/(d)(e − (x2)/(2))/((π)) dx, 
каде d е константа одредена од употребената постапка на модулацијата и демодулација (на пример за BPSK со кохерентна демодулација d = 2). Заменувајќи го апроксимативниот израз за кумулативната дистрибутивна функција од (5.21↑) во (5.24↑), со користење на [38] и [38] добиваме апроксимација за средната веројатност на грешка за двете разгледувани системски конфигурации:
(5.25) Pea  ≈ (1)/(2) + ((d γ))/(2 (π) Γ(m))m − 1k = 0m − 1n = 0(( − 1)m + k + n 2n + 2 k Γ(m − k))/(Γ(m − n)) (Γn + 2 k + (1)/(2) (2 k + n − m + 1)m − n − 1 (b + 1)n bk)/(Γ(k + 1) Γ(n + 1) (d γ + 2 b + 2)n + 2 k + (1)/(2)).
Изразите (5.21↑), (5.22↑), (5.23↑), и (5.25↑) можат да се користат за Nx1xN систем со користење на замените: m = N иb = c и за NxNxN систем со користење на замените: m = N2 и b = 1.

4.2.2 Апроксимација на EP за голем однос сигнал-шум

 Врз база на [56] асимтотската апроксимација на средната веројатност на грешка за голем однос сигнал-шум може да се претстави во следнава форма:
(5.26) Peas = (1)/(2⋅dmm!) limγ → 0(dm F\itΓ(γ))/(dγm)mi = 1(2⋅i − 1) , 
каде m е продукт од бројот на предавателни и приемни антени на S-R и R-D делниците и d е константа која зависи од типот на модулацијата кој се користи во (5.24↑). Доколку во (5.26↑) замениме F\itΓ(γ) ≈ F\itΓ\rma(γ), (2 m − 1)!! = (2 m)! ⁄ (2m m!) и \itf\itΓ\rma(γ) = dF\itΓ\rma(γ) ⁄ dγ се добива:
(5.27) Peas ≈ (Γ(m + 1))/(2m + 1 Γ\rm2(m + 1) dm)limγ → 0(dm − 1f\itΓ\rma(γ))/(dγm − 1) .
Доколу се земе во предвид дека f(i)\itΓ\rma(0) = 0 за i = 0, 1..m − 2 и теоремата за почетна вредност дадена во [57] равенката (5.27↑) може да се поедностави во следнава форма:
(5.28) Peas ≈ (Γ(m + 1))/(2m + 1 Γ\rm2(m + 1) dm)lims → ∞sm M\itΓ\rma( − s) .
Доколку во изразот во лименсот од (5.28↑) го замениме M\itΓ\rma( − s) од (5.22↑) и ги комбинираме изразите во форма на една дропка се добива:
(5.29) limγ → ∞sm M\itΓ\rma( − s) = (bm + 1)/(γm) .
Ако се замени (5.29↑) во (5.28↑) ќе добиеме дека асимптотската апроксимација на веројатноста за грешкa за голем SNR е:
(5.30) Peas ≈ (Γ(m + 1)(bm\rm + 1))/(2m + 1⋅Γ\rm2(m + 1)dmγm) .
Претходниот израз може да се користи за пресметка на асимптотската апроксимација на средната веројатност на грешка за Nx1xN систем (m = N и b = c) и за NxNxN систем (m = N2 и b = 1).

4.2.3 Раздвојување на OSTBC кодовите од повисок ред

 За потребите на нумеричката анализа која ќе биде спроведена во глава 4.2.4↓ потребно е анализaтa од глава 4.1↑ да се претстави со користење на линеарна алгебра. Во глава 4.2.4↓ ќе бидат користени 222 2x1 и 2x2 OSTBC кодови чие раздвојување е прикажано во главите 3.3.2↑ и 3.3.4↑ и 334 (3x1) и 434 (4x1) OSTBC кодови кои се раздвојуваат на следниов начин.
Раздвојување за 334 OSTBC код
Векторот кој ги претставува симболите испратени во изворот X и каналната матрица (вектор) H се:
(5.31) X = [ x1 x2 x3 ]  H = [ h1 h2 h3 ]
Шумот во делницата од изворот до релето и помошната променлива за шумот се:
(5.32) N: = [ n1 n2 n3 n4 ]  Na = [ n1 n2 n*3 n*4 ]
Кодна матрица за 334 OSTBC кодот е:
(5.33) C334 =  x1 x2 x3  − x*2 x*1 0 x*3 0  − x*1 0 x*3  − x*2
Еквивалентната виртуелна канална матрица и нејзината транспонирана матрица се дадени со:
(5.34) Ω =  h1 h*2  − h*3 0 h2  − h*1 0  − h*3 h3 0 h*1 h*2 ,   ΩT =  h1 h2 h3 h*2  − h*1 0  − h*3 0 h*1 0  − h*3 h*2
Приемниот сигнал во релето е:
(5.35) Y = [ x1h1 + x2h2 + x3h3 + n1,   − x*2h1 + x*1h2 + n2,  x*3h1 − x*1h3 + n3,  x*3h2 − x*2h3 + n4,  ]
Модифицираната верзија од сигналот даден со (5.35↑) e:
Ya = [y1, y*2, y*3, y*4] = 
(5.36)  = [ x1h1 + x2h2 + x3h3 + n1,   − x2h*1 + x1h*2 + n*2,  x3h*1 − x1h*3 + n*3,  x3h*2 − x2h*3 + n*4 ]
Модифицираната верзија од сигналот може да се добие и директно со користење на EVCM:
(5.37) Ya = XΩ + Na
Раздвоениот сигнал во една антена од релето е:
 = YaΩH = [ y1h*1 + y*2h2 − y*3h3,  y1h*2 − y*2h1 − y*4h3,  y1h*3 + y*3h1 + y*4h2 ]
 =  [(|h1|2 + |h2|2 + |h3|2)x1 + h*1n1 + h2n*2 − h3n*3, 
(5.38) (|h1|2 + |h2|2 + |h3|2)x2 + h*2n1 − h1n*2 − h3n*4, (|h1|2 + |h2|2 + |h3|2)x3 + h*3n1 + h1n*3 + h2n*4]
Раздвојување за 434 OSTBC код
Векторот кој ги претставува симболите испратени во изворот X и каналната матрица (вектор) H се:
(5.39) X = [ x1 x2 x3 ]  H = [ h1 h2 h3 h4 ]
Шумот во делницата од изворот до релето и помошната променлива за шумот се:
(5.40) N = [ n1 n2 n3 n4 ]  Na = [ n1 n2 n*3 n*4 ]
Кодна матрица за 434 OSTBC кодот е:
(5.41) C434 =  x1 x2 (1)/(2)x3(2) (1)/(2)x3(2)  − x*2 x*1 (1)/(2)x3(2)  − (1)/(2)x3(2) (1)/(2)x*3(2) (1)/(2)x*3(2)  − (1)/(2)x1 − (1)/(2)x*1 + (1)/(2)x2 − (1)/(2)x*2  − (1)/(2)x2 − (1)/(2)x*2 + (1)/(2)x1 − (1)/(2)x*1 (1)/(2)x*3(2)  − (1)/(2)x*3(2) (1)/(2)x2 + (1)/(2)x*2 + (1)/(2)x1 − (1)/(2)x*1  − (1)/(2)x1 − (1)/(2)x*1 − (1)/(2)x2 + (1)/(2)x*2
Приемниот сигнал во релето е:
Y = C434 HT = 
[ x1h1 + x2h2 + (1)/(2)x3(2)h3 + (1)/(2)x3(2)h4 + n1,   − x*2h1 + x*1h2 + (1)/(2)x3(2)h3 − (1)/(2)x3(2)h4 + n2, 
(1)/(2)x*3(2)h1 + (1)/(2)x*3(2)h2 + (1)/(2)( − x1 − x*1 + x2 − x*2)h3 + (1)/(2)( − x2 − x*2 + x1 − x*1)h4 + n3, 
(5.42) (1)/(2)x*3(2)h1 − (1)/(2)x*3(2)h2 + (1)/(2)(x2 + x*2 + x1 − x*1)h3 + (1)/(2)( − x1 − x*1 − x2 + x*2)h4 + n4
Поединечните раздвоени симболи се добиваат [58]:
1 = y1h*1 + y*2h2 + (1)/(2)(y4 − y3)(h*3 − h*4) − (1)/(2)(y*3 + y*4)(h3 + h4) = 
(5.43)  =  − (1)/(2)h3n*4 + h2n*2 − (1)/(2)h3n*3 + h*1n1 − (1)/(2)h*4n4 + (1)/(2)n4h*3 − (1)/(2)n3h*3 + (1)/(2)n3h*4 − (1)/(2)n*3h4 − (1)/(2)n*4h4
2 = y1h*2 − y*2h1 + (1)/(2)(y4 + y3)(h*3 − h*4) + (1)/(2)(y*4 − y*3)(h3 + h4)
 = (|h1|2 + |h2|2 + |h3|2 + |h4|2)x2 − h1n*2 + h*2n1 + 
(5.44)  + (1)/(2)(h3n*4 − h3n*3 − h*4n4 + n4h*3 + n3h*3 − n3h*4 − n*3h4 + n*4h4)
3 = (1)/(2)(y1 + y2)h*3(2) + (1)/(2)(y1 − y2)h*4(2) + (1)/(2)(h1 + h2)y*3(2) + (1)/(2)(h1 − h2)y*4(2)
 = (|h1|2 + |h2|2 + |h3|2 + |h4|2)x3 − 
(5.45)  − (1)/(2)(h*4(2)n2 + (2)h1n*4 + (2)h2n*3 + h*3(2)n1 + (2)h1n*3 − (2)h2n*4 + h*3(2)n2 + h*4(2)n1)

4.2.4 Нумерички и симулациски резултати

 Во оваа глава ќе биде илустрирана точноста на апроксимациите презентирани во главите 4.2.1↑ и 4.2.2↑. Прво ќе бидат потврдени апроксимациите за EP за различен број на антени N во споредба со: (a) точните вредности добиени со нумеричка интеграција на соодветни интеграли, и (b) точните вредности добиени со Монте Карло симулации. Во сликите прикажани во оваа нумеричка анализа ќе се користи кратенката „sim“ доколку кривата е добиена со користење на Монте-Карло симулација, кратенката „num“ доколку кривата е добиена со нумеричка интеграција на соодветната MGF функција, кратенката „asy“ доколку кривата е добиена со асимптотскиот израз (5.30↑) и кратенката „app“ доколку кривата е добиена со точниот апроксимативен израз (5.25↑).
 На слика 4.2↓ се презентирани BEP резултатите за Nx1xN систем кој користи до 7 антени во изворот и дестинацијата за Es = PT ⁄ N т.е. c = 1 ⁄ N. Кривите со полна линија ги претставуваат резултатите добиени со изразот за апроксимација на веројатноста на грешка (5.25↑) и кривите со испрекинати линии претставуваат резултати добиени од изразот за асимптотска апроксимација на веројатноста на грешка (5.30↑). Треба да се напомене дека соодветните криви за N > 7 можат лесно да се добијат. Слично, на слика 4.3↓ се дадени BEP резултатите за NxNxN систем со до 7 антени во изворот, релето и дестинацијата за Es = PT ⁄ N. Полната линија ги претставува резултатите добиени со користење на изразот за апроксимација на веројатноста на грешка (5.25↑), и точкастите линии ги претставуваат резултатите добиени со користење на изразот за асимптотска апроскимација на веројатноста за грешка (5.30↑). Сите резултати се добиваат многу лесно со правилен избор на точноста на пакетот за нумеричка анализа.
 Во анализата ќе се фокусираме на неколку OSTBC шеми, како 222, 334, и 434, и ќе ги воспоставиме нивните соодветни точни и апроксимативни веројатности за грешка кога ќе се применат на разгледуваниот систем (слика 4.1↑). Согласно на [50] и [59] кодните матрици за овие шеми се дадени со:
(5.46) C222 =  x1 x2  − x*2 x*1 ,   C334 =  x1 x2 x3  − x*2 x*1 0 x*3 0  − x*1 0 x*3  − x*2  ,   C434 =  x1 x2 x3 ⁄ (2) x3 ⁄ (2)  − x*2 x*1 x3 ⁄ (2)  − x3 ⁄ (2) x3 ⁄ (2) x3 ⁄ (2) (( − x1 − x*1 + x2 − x*2))/(2) (( − x2 − x*2 + x1 − x*1))/(2) x*3 ⁄ (2)  − x*3 ⁄ (2) ((x2 + x*2 + x1 − x*1))/(2)  − ((x1 + x*1 + x2 − x*2))/(2)  .
figure Images/image2.png
Figure 4.2 BEP за МИМО 2x1x2/3x1x3/4x1x4/7x1x7 AF релејни канали.
figure Images/image3.png
Figure 4.3 BEP за МИМО 2x2x2/3x3x3/4x4x4/7x7x7 AF релејни канали.
За OSTB кодовите дадени во (5.46↑) средната моќност по симбол се пресметува како:
(5.47) Es = PTc,  c = (L)/(K N ) .
Примените симболи во една релејна антена за 222, 334 и 434 OSTBC кодови се раздвојуваат согласно на [50] [51] (Процесот на раздвојување е детално анализиран во главите 3.3.2↑, 3.3.3↑ и 4.2.3↑) :
(5.48) \widetildeXT222 = [y1h*1 + y*2h2,  y1h*2 − y*2h1] ,  \widetilde XT334 = [y1h*1 + y*2h2 − y*3h3,  y1h*2 − y*2h1 − y*4h3,  y1h*3 + y*3h1 + y*4h2] ,  \widetilde X434 =  y1h*1 + y*2h2 + ((y4 − y3)(h*3 − h*4))/(2) − ((y*3 + y*4)(h3 + h4))/(2) y1h*2 − y*2h1 + ((y4 + y3)(h*3 − h*4))/(2) + ((y*4 − y*3)(h3 + h4))/(2) ((y1 + y2h*3)/((2)) + ((y1 − y2)h*4)/((2)) + ((h1 + h2)y*3)/((2)) + ((h1 − h2)y*4)/((2))  .
На слика 4.4↓ е прикажана BEP за 2x1x2 систем со Аламути кодирање [17], 3x1x3 со 334 OSTBC и 4x1x4 со 434 OSTBC. На сликата се споредени резултатите добиени со Монте Карло симулации, резултатите добиени со апроксимациите (5.25↑) и (5.30↑) за m = N и b = c и точните резултати добиени со нумеричка интеграција на [35] и користење на изразот за MGF добиен со пристапот прикажан во [42]. Споредбата покажува поклопување на резултатите добиени со апроксимацијата (5.25↑), точните резултати добиени со нумеричка интеграција и резултатите добиени со симулација.
figure Images/image4.png
Figure 4.4 BEP за МИМО 2x1x2/3x1x3/4x1x4 AF релејни канали со 222/334/434 OSTBC.
figure Images/image5.png
Figure 4.5 BEP за МИМО 2x2x2/3x3x3/4x4x4 AF релејни канали со 222/334/434 OSTBC.
 На слика 4.5↑ е дадена BEP за 2x2x2, 3x3x3 и 4x4x4 системите кои користат OSTBC дадени со (5.46↑). На сликата се презентирани BEP за 2x2x2, 3x3x3 и 4x4x4 системите кои користат OSTBC даден со (5.46↑). На сликата се претставени споредбите за резултатите добиени со помош на симулација, резултатите добиени со користење на изразот за апроксимација на веројатноста за грешка (5.25↑), резултатите добиени со асимптотска апроксимација на веројатноста за грешка (5.30↑) и резултатите добиени со нумеричка интеграција на MGF дадена во [45] со користење на [35]. За споредбите е употребена MGF презентирана во [45] заради подобрата пресметковна ефикасност. Повторно, споредбата покажува точно преклопување на резултатите добиени со апроксимацијата (5.25↑), нумеричката интеграција и симулацијата.
figure Images/image6.png
Figure 4.6 Споредба на BEP апроксимациите за МИМО 2x1x2 и 4x1x4 AF релејни канали со горните граници добиени во [44] и [44].
figure Images/image7.png
Figure 4.7 Споредба на BEP апроксимациите на МИМО 2x2x2 и 4x4x4 AF релеен канал со горните граници добиени со [44] и [44].
 На слика 4.6↑ е прикажана споредбата на резултатите добиени со (5.25↑) и (5.30↑) со горните граници добиени од [44] и [44] за 2x1x2 и 4x1x4 системи кои користат 222 и 434 OSTB кодови. Резултатите добиени со апроксимациите (5.25↑) и (5.30↑) многу поточно ги следат точните резултати во споредба со горните граници дадени со [44] и [44]. На пример за 2x1x2 систем и BEP од 10 − 4 резултатите добиени со (5.25↑) и (5.30↑) се поточни од [44] и [44] за приближно 5dB.
На слика 4.7↑ се претставени споредбите на апроксимациите (5.25↑) и (5.30↑) и горните граници добиени со [44] и [44] за 2x2x2 и 4x4x4 системи кои користат 222 и 434 OSTB кодови. Резултатите добиени со апроксимациите (5.25↑) и (5.30↑) поточно ги следат точните резултати во споредба со горните граници дадени со [44] и [44]. На пример, за 2x2x2 систем и BEP од 10 − 4 (5.25↑) и (5.30↑) се поточни од [44] и [44] за приближно 4dB.
 За упростување на математичката анализа во наредните глави во изразот за BEP (5.25↑) ќе земеме k = 0 со што се добива грубата апроксимација за средната веројатност на грешка за двете системски конфигурации:
(5.49) Pel  ≈ (1)/(2) − ((d γ))/((π))m − 1n = 0(2n Γn + (1)/(2)(b + 1)n)/(Γ(n + 1)(d γ + 2 b + 2)n + (1)/(2)) .
Изразот (5.49↑) може да се користи за Nx1xN систем со користење на замените: m = N и b = c и за NxNxN систем со користење на замените: m = N2 и b = 1.
 Во продолжението на оваа глава ќе ја илустрираме точноста на грубата апроксимација за веројатност на грешка 5.49↑. Ќе ја валидираме нејзината точност за различен број на антени N со споредба со: (a) точните вредности добиени со нумеричка интеграција на соодветните MGF функции, и (b) точните вредности добиени со Монте Карло симулации. Како и претодно се фокусираме на неколку практични OSTBC шеми, 222, 334 и 434 во разгледуваниот систем од слика 4.1↑. Употребуваните кодни матрици се согласно (5.46↑) и примените симболи во дестинацијата се раздвојуваат согласно (5.48↑). Во сликите прикажани во оваа нумеричка анализа ќе се користи кратенката „sim“ доколку кривата е добиена со користење на Монте-Карло симулација, кратенката „num“ доколку кривата е добиена со нумеричка интеграција на соодветната MGF функција, кратенката „ap1“ доколку кривата е добиена со точниот апроксимативен израз (5.25↑) и кратенката „ap2“ доколку кривата е добиена со грубиот апроксимативен израз (5.49↑).
figure Images/image10.png
Figure 4.8 BEP за дво-делнични МИМО 2x1x2/3x1x3/4x1x4 AF системи со BPSK и 222/334/434 OSTB кодирање.
 На слика 4.8↑ е дадена веројатноста на грешка за 2x1x2 систем со Аламути кодирање [17], 3x1x3 со 334 OSTBC и 4x1x4 систем со 434 OSTBC. За овие системи се споредуваат резултатите добиени со Монте Карло симулацијата, многу точните апроксимации добиени со (5.25↑), грубата апроксимација претставена со (5.49↑) и точните резултати добиени со нумеричка интеграција на [35] со користење на изразите за MGF добиени во [42]. Параметарот ρ кој се користи на хоризонталната оска претставува вкупен среден SNR. Споредбата покажува блиска усогласеност на резултатите добиени со прецизната апроксимација (5.25↑), точните резултати добиени со нумеричка интеграција и симулацијата како и добра усогласеност со грубата апроксимација (5.49↑).
 На слика 4.9↓ е презентирана веројатноста за грешка за 2x2x2, 3x3x3 и 4x4x4 систем со користење на OSTBC дадена со (5.46↑). На сликата е дадена споредба на резултатите добиени со помош на симулација, резултатите добиени со користење на изразот за прецизна апроксимација (5.25↑), резултатите добиени со користење на изразот за груба апроксимација (5.49↑) и резултатите добиени со нумеричка интеграција на MGF-от даден во [45] со користење на [35]. Го избравме MGF-от презентиран во [45] заради подобрата нумеричка ефикасност. Споредбата покажува блиска усогласеност на резултатите добиени со прецизната апроксимација (5.25↑), точните резултати добиени со нумеричка интеграција и симулација како и добра усогласеност со грубата апроксимација